A県とB県の勤労者世帯の平均年収に差があると言えるかどうかを、有意水準0.05で検定する問題です。A県とB県の標本平均、標本不偏分散、標本の大きさが与えられており、検定統計量 $Z$ が $Z = (\bar{X}_A - \bar{X}_B) / \sqrt{S_A^2/n_A + S_B^2/n_B}$ で計算され、これが標準正規分布 $N(0,1)$ に従うものとして、正しい選択肢を選ぶ必要があります。

1. 問題の内容

A県とB県の勤労者世帯の平均年収に差があると言えるかどうかを、有意水準0.05で検定する問題です。A県とB県の標本平均、標本不偏分散、標本の大きさが与えられており、検定統計量 $Z$ が $Z = (\bar{X}_A - \bar{X}_B) / \sqrt{S_A^2/n_A + S_B^2/n_B}$ で計算され、これが標準正規分布 $N(0,1)$ に従うものとして、正しい選択肢を選ぶ必要があります。

2. 解き方の手順

まず、与えられた値を用いて検定統計量 $Z$ を計算します。

ステップ1: 各値を代入します。

$\bar{X}_A = 598$, $\bar{X}_B = 604$, $S_A^2 = 368$, $S_B^2 = 500$, $n_A = 108$, $n_B = 135$.

ステップ2: $Z$ を計算します。

$Z = (598 - 604) / \sqrt{368/108 + 500/135} = -6 / \sqrt{3.407 + 3.704} = -6 / \sqrt{7.111} = -6 / 2.667 = -2.250$ (概算)

ステップ3: 有意水準0.05で両側検定を行うかどうかを判断します。問題文では「差があると言えるか」と問われているので、両側検定を行います。

ステップ4: 標準正規分布表（または問題文で与えられた値）を用いて、有意水準0.05に対応する臨界値を調べます。両側検定なので、$\alpha / 2 = 0.025$ となり、$P(Z > 1.96) = 0.025$ より、臨界値は $\pm 1.96$ です。

ステップ5: 計算された $Z$ 値と臨界値を比較します。$Z = -2.250$ であり、$|-2.250| = 2.250 > 1.96$ であるため、帰無仮説は棄却されます。

ステップ6: $Z$ の値が負であるため、左側で棄却されます。しかし、両側検定を行っているので、両側検定で帰無仮説が棄却されたと判断します。

3. 最終的な答え

⑤両側検定で帰無仮説が棄却された