1から9までの数字が書かれた9枚のカードが入った袋から1枚取り出し、数字を確認して袋に戻すという試行を $n$ 回繰り返す。取り出した $n$ 枚のカードの数字の和が偶数になる確率を $P_n$ とする。 (1) $P_2$ と $P_3$ の値を求める。 (2) $P_{n+1}$ を $P_n$ を用いて表す。 (3) $P_n$ を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

1から9までの数字が書かれた9枚のカードが入った袋から1枚取り出し、数字を確認して袋に戻すという試行を $n$ 回繰り返す。取り出した $n$ 枚のカードの数字の和が偶数になる確率を $P_n$ とする。

(1) $P_2$ と $P_3$ の値を求める。

(2) $P_{n+1}$ を $P_n$ を用いて表す。

(3) $P_n$ を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $P_2$ を求める。

2回の試行で数字の和が偶数になるのは、2回とも偶数か、2回とも奇数の場合である。

偶数のカードは4枚、奇数のカードは5枚なので、

$P_2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{4}{9} + \frac{5}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{16}{81} + \frac{25}{81} = \frac{41}{81}$

$P_3$ を求める。

3回の試行で数字の和が偶数になるのは、3回とも偶数、偶数1回と奇数2回の場合である。

または、3回の試行で数字の和が偶数になるのは、奇数が偶数回出る場合。つまり、0回か2回。

3回とも偶数の確率は $(\frac{4}{9})^3 = \frac{64}{729}$

偶数1回、奇数2回の確率は ${}_3 C_1 \cdot \frac{4}{9} \cdot (\frac{5}{9})^2 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{25}{81} = \frac{300}{729}$

$P_3 = \frac{64}{729} + \frac{300}{729} = \frac{364}{729}$

(2) $P_{n+1}$ を $P_n$ を用いて表す。

$n+1$ 回の試行で和が偶数になるのは、$n$ 回の和が偶数で、$n+1$ 回目が偶数の場合、または、$n$ 回の和が奇数で、$n+1$ 回目が奇数の場合である。

$P_{n+1} = P_n \cdot \frac{4}{9} + (1-P_n) \cdot \frac{5}{9} = \frac{4}{9} P_n + \frac{5}{9} - \frac{5}{9} P_n = \frac{5}{9} - \frac{1}{9} P_n$

(3) $P_n$ を $n$ を用いて表す。

$P_{n+1} = \frac{5}{9} - \frac{1}{9} P_n$ を変形する。

$P_{n+1} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{9} (P_n - \frac{1}{2})$

数列 $\{P_n - \frac{1}{2}\}$ は、初項 $P_1 - \frac{1}{2} = \frac{4}{9} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{18}$、公比 $-\frac{1}{9}$ の等比数列である。

$P_n - \frac{1}{2} = (-\frac{1}{18}) \cdot (-\frac{1}{9})^{n-1}$

$P_n = \frac{1}{2} - \frac{1}{18} \cdot (-\frac{1}{9})^{n-1} = \frac{1}{2} - \frac{(-1)^{n-1}}{2 \cdot 9^n}$

$P_n = \frac{9^n - (-1)^{n-1}}{2 \cdot 9^n} = \frac{9^n + (-1)^n}{2 \cdot 9^n}$

3. 最終的な答え

(1) $P_2 = \frac{41}{81}$, $P_3 = \frac{364}{729}$

(2) $P_{n+1} = \frac{5}{9} - \frac{1}{9} P_n$

(3) $P_n = \frac{9^n + (-1)^n}{2 \cdot 9^n}$