2つのチームA, Bが優勝戦を行う。先に2勝した方を優勝チームとする。最初の試合でAが勝った場合、優勝が決定するまでの勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。

1. 問題の内容

2つのチームA, Bが優勝戦を行う。先に2勝した方を優勝チームとする。最初の試合でAが勝った場合、優勝が決定するまでの勝負の分かれ方は何通りあるか。ただし、試合では引き分けもあるが、引き分けの次の試合は必ず勝負がつくものとする。

2. 解き方の手順

最初の試合はAが勝っているので、残り2勝すればAが優勝、Bが2勝すればBが優勝となる。

引き分けは次の試合で必ず勝負がつくので、引き分けをDと表現すると、ADまたはBDと考えることができる。

Aが最初に勝っているので、Aが優勝するためにはあと1勝すればよい。Bが優勝するためにはあと2勝すればよい。

場合分けして考える。

(1) Aが2連勝する場合：AA

(2) Aが2勝するまでにBが1勝する場合：ABA, BAA

(3) Aが2勝するまでに引き分けが1回入る場合：ADA, DAA

(4) Aが2勝するまでにBが1勝し、引き分けが1回入る場合：BDAA, DABA, ABDA, ADAB, BADA, BAAD

(5) Bが2連勝する場合：BAA

(6) Bが2勝するまでに引き分けが1回入る場合：BDAA, DABA, ABDA, ADAB, BADA, BAAD

(7) Bが2勝する場合 : BAA

最初の試合でAが勝っているので、ここからの勝ち負けを列挙していく。

Aが優勝する場合：

・AA

・ABA

・BAA

・ADA

・DAA

・ABDA

・ADAB

・BADA

・BAAD

・BDAA

・DABA

Bが優勝する場合：

・B B

・B A B

・A B B

・B D B

・D B B

・B A D B

・B D A B

・A B D B

・A D B B

・D A B B

・D B A B

上記の場合分けを考慮して、以下の場合分けを行う。

(1) 2試合で決着する場合：AA, BB

(2) 3試合で決着する場合：ABA, BAA, BAB, ABB

(3) 4試合で決着する場合：ABDA, ADAB, BADA, BAAD, BDBB, DBBB, ABDB, ADBB, BBAA, BBDD, BDDA, BADD, DABB, DABA, DABB

引き分けがあった場合は、引き分けの次の試合は必ず勝負がつく。

* AA (Aが2連勝)

* ABA (Aが2勝し、Bが1勝)

* BAA (Aが2勝し、Bが1勝)

* ADA (Aが1勝、引き分け、Aが勝ち)

* DAA (引き分け、Aが2連勝)

* ABDA (Aが1勝, Bが1勝、引き分け、Aが勝ち)

* ADAB (Aが1勝, 引き分け、Bが1勝、Aが勝ち)

* BADA (Bが1勝、Aが1勝、引き分け、Aが勝ち)

* BAAD (Bが1勝、引き分け、Aが1勝、Aが勝ち)

* BDAA (Bが1勝、引き分け、Aが1勝、Aが勝ち)

* DABA (引き分け、Bが1勝、Aが1勝、Aが勝ち)

したがって、11通りである。

3. 最終的な答え

11通り