確率密度関数 $f(x)$ が、$0 \le x \le 1$ で $f(x) = 2(1-x)$、$x$ が上記範囲外では $f(x)=0$ と定義される確率変数について、確率密度関数 $f(x)$ と分布関数 $F(x)$ を求め、与えられた選択肢の中から正しいものを選び、重要なキーワードを一つ記述する問題です。

1. 問題の内容

確率密度関数 $f(x)$ が、$0 \le x \le 1$ で $f(x) = 2(1-x)$、$x$ が上記範囲外では $f(x)=0$ と定義される確率変数について、確率密度関数 $f(x)$ と分布関数 $F(x)$ を求め、与えられた選択肢の中から正しいものを選び、重要なキーワードを一つ記述する問題です。

2. 解き方の手順

まず、確率密度関数 $f(x)$ が与えられているので、分布関数 $F(x)$ を求めます。分布関数 $F(x)$ は、$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt$ で定義されます。

* $x < 0$ のとき、$F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 dt = 0$

* $0 \le x \le 1$ のとき、$F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{x} 2(1-t) dt = 2\int_{0}^{x} (1-t) dt = 2[t - \frac{1}{2}t^2]_{0}^{x} = 2(x - \frac{1}{2}x^2) = 2x - x^2$

* $x > 1$ のとき、$F(x) = \int_{-\infty}^{0} 0 dt + \int_{0}^{1} 2(1-t) dt + \int_{1}^{x} 0 dt = 2\int_{0}^{1} (1-t) dt = 2[t - \frac{1}{2}t^2]_{0}^{1} = 2(1 - \frac{1}{2}) = 1$

したがって、分布関数 $F(x)$ は次のようになります。

$ F(x) =

\begin{cases}

0 & (x < 0) \\

2x - x^2 & (0 \le x \le 1) \\

1 & (x > 1)

\end{cases}

$$

次に、選択肢を検討します。

1. $f(-1) = 4$：$x=-1$ は $0 \le x \le 1$ の範囲外なので、$f(-1) = 0$。したがって、これは誤りです。

2. $F(-1) = 4$：$x=-1$ なので、$F(-1) = 0$。したがって、これは誤りです。

3. 確率変数Xの平均$\mu$は、$f(x)$のグラフの頂点になっている。：$f(x) = 2(1-x)$のグラフの頂点はx=0のときで、$f(0) = 2$。平均 $\mu = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx = \int_0^1 x * 2(1-x) dx = 2\int_0^1 (x-x^2) dx = 2[x^2/2 - x^3/3]_0^1 = 2(1/2 - 1/3) = 2(1/6) = 1/3$。従って、平均はグラフの頂点ではないので、これは誤りです。

4. $F(x)$ のグラフには連続していないところが 2 箇所ある：$F(x)$は、$x<0$ で0、$0 \le x \le 1$ で $2x-x^2$、$x > 1$ で1であり、連続なので誤りです。

5. 本日「令和02年08月06日」は令和時代になって、464日目である。よって$f(464) = 1$である。： $x=464$ は $0 \le x \le 1$ の範囲外なので、$f(464)=0$。したがって、これは誤りです。

6. 本日「令和02年08月06日」は令和時代になって、464日目である。よって$F(464) = 1$である。：$x=464$ は $0 \le x \le 1$ の範囲外なので、$F(464)=1$。したがって、これは正しいです。

したがって、正しい選択肢は6です。

キーワードは「分布関数」です。

3. 最終的な答え

正しい選択肢：⑥

キーワード：分布関数