母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の合計8個の文字を一列に並べる。 (1) 両端が母音である並べ方は何通りあるか。 (2) 母音5個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

母音 a, i, u, e, o と子音 k, s, t の合計8個の文字を一列に並べる。

(1) 両端が母音である並べ方は何通りあるか。

(2) 母音5個が続いて並ぶ並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 両端が母音である場合

8個の文字を並べる。両端は母音でなければならない。

まず、両端の母音の選び方を考える。母音は5種類あるので、左端は5通りの選び方がある。左端の母音を選んだ後、右端の母音は残りの4種類から選ぶことになるので、4通りの選び方がある。したがって、両端の母音の選び方は $5 \times 4 = 20$ 通り。

次に、残りの6個の文字（母音3個、子音3個）を並べる。6個の文字を並べる順列は $6!$ 通り。

よって、両端が母音である並べ方は、$20 \times 6!$ 通り。

(2) 母音5個が続いて並ぶ場合

母音5個をまとめて1つのグループとして考える。

このグループと3個の子音を並べる。

母音のグループと子音の合計4つを並べる順列は $4!$ 通り。

母音のグループの中で、母音5個を並べる順列は $5!$ 通り。

よって、母音5個が続いて並ぶ並べ方は、$4! \times 5!$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) $20 \times 6! = 20 \times 720 = 14400$ 通り

(2) $4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880$ 通り