一つのサイコロを繰り返し投げ、各回の出た目に応じて得点を定める。ルールAに従って得点を計算し、確率や期待値を求める問題。 ルールA: (i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点とする。 (ii) (i)のとき以外は、k回目に出た目の数を得点とする。

1. 問題の内容

一つのサイコロを繰り返し投げ、各回の出た目に応じて得点を定める。ルールAに従って得点を計算し、確率や期待値を求める問題。

ルールA:

(i) k回目に初めて1の目が出たとき、得点は7点とする。

(ii) (i)のとき以外は、k回目に出た目の数を得点とする。

2. 解き方の手順

* 1回目の得点が7点である確率:

これは1回目に初めて1が出る確率なので、$\frac{1}{6}$。

ア = 1, イ = 6

* 1回目の得点が4点以上である確率:

4, 5, 6のいずれかが出る確率なので、$\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$。

ウ = 1, エ = 2

* 1回目の得点の期待値:

1が出る確率は$\frac{1}{6}$で得点は7点。2, 3, 4, 5, 6が出る確率はそれぞれ$\frac{1}{6}$で、得点はそれぞれ2, 3, 4, 5, 6点。

期待値は $\frac{1}{6}(7 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$。

オ = 4, カ = 5

* 2回目の得点が7点である確率:

2回目に初めて1が出る確率。これは1回目に1が出ず、2回目に1が出る確率なので、$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$。

キ = 5, クケ = 36

* 2回目の得点が1点である確率:

1回目に1が出ておらず、2回目に1以外の1が出る確率を求める。1回目に1が出ていない確率は$\frac{5}{6}$であり、2回目に1が出る確率は$\frac{1}{6}$である。

したがって、求めたい確率は$\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$。1回目に１以外の目が出て、2回目に1が出ない確率、つまり1回目に2,3,4,5,6が出て、2回目に1が出ない確率を計算すれば良い。したがって$\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$

コ = 25, サシ = 36

* 3回目の得点が1点である確率:

3回目に初めて1の目が出る確率。これは1回目と2回目に1が出ず、3回目に1が出る確率なので、$\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$。

スセ = 25, ソタチ = 216

* 3回目の得点が1点であったとき、2回目の得点が7点である条件付き確率:

3回目の得点が1点であるのは、1, 2回目は1以外の目が出て、3回目に1が出た場合。このとき、2回目の得点が7点であるのは、1回目に1以外の目が出て、2回目に初めて1が出た場合。したがって、求める確率は

$\frac{P(\text{2回目が7点かつ3回目が1点})}{P(\text{3回目が1点})} = \frac{\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}{\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}} = \frac{5/216}{25/216} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

ツ = 1, テト = 5

3. 最終的な答え

ア = 1, イ = 6

ウ = 1, エ = 2

オ = 4, カ = 5

キ = 5, クケ = 36

コ = 25, サシ = 36

スセ = 25, ソタチ = 216

ツ = 1, テト = 5