事象A, Bの確率 $P(A) = \frac{1}{5}$, $P(B) = \frac{1}{6}$, および条件付き確率 $P_A(B) = \frac{1}{4}$ が与えられています。以下の3つの問題を解きます。 問題1: 事象AとBが同時に起こる確率 $P(A \cap B)$ を求めます。 問題2: 事象Bが起こったときに事象Aが起こる確率 $P_B(A)$ を求めます。 問題3: 事象Aと事象Bが独立か従属かを判定します。

1. 問題の内容

事象A, Bの確率 $P(A) = \frac{1}{5}$, $P(B) = \frac{1}{6}$, および条件付き確率 $P_A(B) = \frac{1}{4}$ が与えられています。以下の3つの問題を解きます。

問題1: 事象AとBが同時に起こる確率 $P(A \cap B)$ を求めます。

問題2: 事象Bが起こったときに事象Aが起こる確率 $P_B(A)$ を求めます。

問題3: 事象Aと事象Bが独立か従属かを判定します。

2. 解き方の手順

問題1: $P(A \cap B)$ を求める。

条件付き確率の定義より、$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ です。したがって、$P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A)$ となります。

$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$

問題2: $P_B(A)$ を求める。

条件付き確率の定義より、$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ です。問題1で$P(A \cap B)$ を求めたので、これを利用します。

$P_B(A) = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{20} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

問題3: 事象Aと事象Bが独立か従属かを判定する。

事象Aと事象Bが独立であるとは、$P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ が成り立つことです。もしこの式が成り立たない場合は、事象Aと事象Bは従属となります。

$P(A) \times P(B) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{30}$

$P(A \cap B) = \frac{1}{20}$

$\frac{1}{30} \neq \frac{1}{20}$

したがって、$P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$ なので、事象Aと事象Bは従属です。

3. 最終的な答え

問題1: $P(A \cap B) = \frac{1}{20}$

問題2: $P_B(A) = \frac{3}{10}$

問題3: 事象Aと事象Bは従属である。理由は、$P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$ だからです。