画像は、標本平均の95%予言的中区間に関する問題の一部を示しており、空欄を埋めるように求められています。母平均 $\mu$、母標準偏差 $\sigma$ の正規母集団から無作為に抽出した $n$ 個の標本の標本平均 $\bar{x}$ の分布が平均 $\mu$、標準偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の正規分布に従うことを利用して、以下の不等式を満たす $\bar{x}$ の範囲を求める問題です。 $-1.96 \le \frac{\bar{x} - \text{ [空欄]}}{\text{ [空欄]}} \le 1.96$ あるいは $\text{ [空欄]}- 1.96 \times \text{ [空欄]} \le \bar{x} \le \text{ [空欄]}+ 1.96 \times \text{ [空欄]}$

1. 問題の内容

画像は、標本平均の95%予言的中区間に関する問題の一部を示しており、空欄を埋めるように求められています。母平均 $\mu$、母標準偏差 $\sigma$ の正規母集団から無作為に抽出した $n$ 個の標本の標本平均 $\bar{x}$ の分布が平均 $\mu$、標準偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の正規分布に従うことを利用して、以下の不等式を満たす $\bar{x}$ の範囲を求める問題です。

$-1.96 \le \frac{\bar{x} - \text{ [空欄]}}{\text{ [空欄]}} \le 1.96$

あるいは

$\text{ [空欄]}- 1.96 \times \text{ [空欄]} \le \bar{x} \le \text{ [空欄]}+ 1.96 \times \text{ [空欄]}$

2. 解き方の手順

まず、問題文より、標本平均 $\bar{x}$ の分布は平均 $\mu$、標準偏差 $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ の正規分布に従うことがわかります。

したがって、$\bar{x}$ を標準化した変数 $z$ は、

$z = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

と表せます。

95%予言的中区間は、標準正規分布において $z$ が -1.96 から 1.96 の間に入る確率が 95% であることから導かれます。したがって、

$-1.96 \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1.96$

となります。

次に、この不等式を変形して $\bar{x}$ について解きます。

$-1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{x} - \mu \le 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

$\mu - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{x} \le \mu + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

したがって、空欄に当てはまるものは $\mu$ と $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ であるとわかります。

3. 最終的な答え

$-1.96 \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1.96$

あるいは

$\mu - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{x} \le \mu + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$