コンビニのおにぎり製造機で作られたおにぎりの重さの母平均 $\mu$ を95%信頼区間で区間推定する問題です。25個のおにぎりの標本平均は80グラム、母標準偏差は10グラムであるという情報が与えられています。

1. 問題の内容

コンビニのおにぎり製造機で作られたおにぎりの重さの母平均 $\mu$ を95%信頼区間で区間推定する問題です。25個のおにぎりの標本平均は80グラム、母標準偏差は10グラムであるという情報が与えられています。

2. 解き方の手順

* 標本平均の分布の標準偏差を計算します。

母標準偏差 $\sigma = 10$ グラム、標本サイズ $n = 25$ なので、標本平均の標準偏差 $\sigma_{\bar{x}}$ は以下の式で計算できます。

$\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{10}{\sqrt{25}} = \frac{10}{5} = 2$

* 95%信頼区間の式を完成させます。標本平均の分布は、母平均 $\mu$ を平均値に持ち、$2$ を標準偏差に持つ正規分布に従います。

95%信頼区間は以下の式で表されます。

$-1.96 \le \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}} \le 1.96$

ここに $\bar{x} = 80$ と $\sigma_{\bar{x}} = 2$ を代入します。

$-1.96 \le \frac{80 - \mu}{2} \le 1.96$

* $\mu$ について解きます。まず、各辺に2を掛けます。

$-1.96 * 2 \le 80 - \mu \le 1.96 * 2$

$-3.92 \le 80 - \mu \le 3.92$

各辺から80を引きます。

$-3.92 - 80 \le -\mu \le 3.92 - 80$

$-83.92 \le -\mu \le -76.08$

各辺に-1を掛けます。不等号の向きが変わります。

$83.92 \ge \mu \ge 76.08$

したがって、

$76.08 \le \mu \le 83.92$

3. 最終的な答え

おにぎりの重さの母平均 $\mu$ の95%信頼区間は $76.08 \le \mu \le 83.92$ となります。