事象A, Bの起こる確率がそれぞれ $P(A) = \frac{1}{5}$、$P(B) = \frac{1}{6}$であるとする。事象Aが起こったときに事象Bが起こる条件付き確率が$P_A(B) = \frac{1}{4}$ であるとき、以下の2つの問題を解く。 問題1: 事象AとBが同時に起こる確率 $P(A \cap B)$ を計算する。 問題2: 事象Bが起こったときに、事象Aが起こる条件付き確率 $P_B(A)$ を計算する。

1. 問題の内容

事象A, Bの起こる確率がそれぞれ $P(A) = \frac{1}{5}$、$P(B) = \frac{1}{6}$であるとする。事象Aが起こったときに事象Bが起こる条件付き確率が$P_A(B) = \frac{1}{4}$ であるとき、以下の2つの問題を解く。

問題1: 事象AとBが同時に起こる確率 $P(A \cap B)$ を計算する。

問題2: 事象Bが起こったときに、事象Aが起こる条件付き確率 $P_B(A)$ を計算する。

2. 解き方の手順

問題1:

条件付き確率の定義より、

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

この式を変形して、$P(A \cap B)$を求める。

$P(A \cap B) = P_A(B) \times P(A)$

与えられた値を代入する。

$P(A \cap B) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{20}$

問題2:

条件付き確率の定義より、

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

問題1で求めた$P(A \cap B) = \frac{1}{20}$と$P(B) = \frac{1}{6}$を代入する。

$P_B(A) = \frac{\frac{1}{20}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{20} \times \frac{6}{1} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

問題1:

$P(A \cap B) = \frac{1}{20}$

問題2:

$P_B(A) = \frac{3}{10}$