4つの血圧データ（131, 135, 140, 138）が与えられたとき、以下の2つの問いに答えます。 (a) この4つのデータの標本平均を求めます。 (b) 実際の血圧（母平均$\mu$）の95%信頼区間を求めます。

1. 問題の内容

4つの血圧データ（131, 135, 140, 138）が与えられたとき、以下の2つの問いに答えます。

(a) この4つのデータの標本平均を求めます。

(b) 実際の血圧（母平均$\mu$）の95%信頼区間を求めます。

2. 解き方の手順

(a) 標本平均の計算

標本平均は、データの総和をデータ数で割ることで計算されます。

$$\text{標本平均} = \frac{\text{データの総和}}{\text{データ数}}$$

計算式は、

$$\frac{131 + 135 + 140 + 138}{4}$$

これを計算すると、

$$\frac{544}{4} = 136$$

したがって、標本平均は136です。

(b) 95%信頼区間の計算

標本平均の分布は、母平均$\mu$を平均値に持ち、$\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$を標準偏差に持つ正規分布に従うと仮定します。ここで、$\sigma$は母標準偏差、$n$はサンプルサイズです。

問題文から、与えられた不等式は

$$-1.96 \le \frac{\bar{x} - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \le 1.96$$

で表されます。ここで$\bar{x}$は標本平均です。

$\sigma$が不明なため標本標準偏差 $s$ で代用し、$t$分布を利用することになるが、ここでは正規分布を利用するものとして進めます。$s$ はサンプルサイズ4の標本から推定する必要があります。

まず、不偏分散 $s^2$ を計算します。

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$$

ここで、$x_i$ は各データ点、$\bar{x}$は標本平均です。

$$s^2 = \frac{(131-136)^2 + (135-136)^2 + (140-136)^2 + (138-136)^2}{4-1}$$

$$s^2 = \frac{(-5)^2 + (-1)^2 + (4)^2 + (2)^2}{3}$$

$$s^2 = \frac{25 + 1 + 16 + 4}{3} = \frac{46}{3} \approx 15.33$$

したがって、$s = \sqrt{15.33} \approx 3.92$ となります。

標本平均の標準誤差は

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{3.92}{\sqrt{4}} = \frac{3.92}{2} = 1.96$$

したがって、

$$-1.96 \le \frac{136 - \mu}{1.96} \le 1.96$$

この不等式を変形して$\mu$の範囲を求めます。

$$-1.96 \times 1.96 \le 136 - \mu \le 1.96 \times 1.96$$

$$-3.8416 \le 136 - \mu \le 3.8416$$

$$-3.8416 - 136 \le -\mu \le 3.8416 - 136$$

$$-139.8416 \le -\mu \le -132.1584$$

$$132.1584 \le \mu \le 139.8416$$

よって95%信頼区間は[132.16, 139.84] となります。（小数点以下2桁で四捨五入）

3. 最終的な答え

(a) 標本平均: 136

(b) 実際の血圧の推定値$\mu$の95%信頼区間: $132.16 \le \mu \le 139.84$