ある人の血圧を1回だけ測ったところ、130であった。この人の血圧の計測値は母平均$\mu$、母標準偏差10の正規分布に従うとする。実際の血圧（=母平均$\mu$）の95%信頼区間を区間推定せよ。

1. 問題の内容

ある人の血圧を1回だけ測ったところ、130であった。この人の血圧の計測値は母平均$\mu$、母標準偏差10の正規分布に従うとする。実際の血圧（=母平均$\mu$）の95%信頼区間を区間推定せよ。

2. 解き方の手順

母平均$\mu$の95%信頼区間は、標本平均を$\bar{x}$、母標準偏差を$\sigma$、標本サイズを$n$としたとき、次の式で表される。

$\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$z_{\alpha/2}$は標準正規分布における上側$\alpha/2$パーセント点である。95%信頼区間の場合、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$であり、$\alpha/2 = 0.025$となる。$z_{0.025}$は約1.96である。

この問題では、$\bar{x} = 130$、$\sigma = 10$、$n = 1$であるから、信頼区間は

$130 \pm 1.96 \times \frac{10}{\sqrt{1}}$

$130 \pm 1.96 \times 10$

$130 \pm 19.6$

したがって、信頼区間の下限は$130 - 19.6 = 110.4$、上限は$130 + 19.6 = 149.6$となる。

3. 最終的な答え

結論: 実際の血圧の推定値$\mu$の95%信頼区間は $110.4 \leq \mu \leq 149.6$