母標準偏差 $\sigma$ がわかっている正規母集団から得られた標本平均 $\bar{x}$ を用いて、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求める問題です。具体的には、不等式 $-1.96 \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1.96$ を変形して、$\mu$ の範囲を求めることが目的です。

1. 問題の内容

母標準偏差 $\sigma$ がわかっている正規母集団から得られた標本平均 $\bar{x}$ を用いて、母平均 $\mu$ の95%信頼区間を求める問題です。具体的には、不等式 $-1.96 \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1.96$ を変形して、$\mu$ の範囲を求めることが目的です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式 $-1.96 \le \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \le 1.96$ を変形します。

各辺に $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ を掛けます。

$-1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar{x} - \mu \le 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

次に、各辺から $\bar{x}$ を引きます。

$-1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} - \bar{x} \le -\mu \le 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} - \bar{x}$

各辺に -1 を掛けます。不等号の向きが変わることに注意してください。

$\bar{x} - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ge \mu \ge \bar{x} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

最後に、不等号の向きを修正して、$\mu$ の範囲を表します。

$\bar{x} - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

3. 最終的な答え

$\bar{x} - 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + 1.96 \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$