スーパーの買い物でマイバッグを使用している人の割合を調べる。母比率を $p$、標本比率を $\hat{p}$ とする。$\hat{p}$ と $p$ の差（許容誤差）が 0.01 以下になる確率を 0.90 以上にするには、少なくとも標本の大きさ $n$ はいくら必要か。中心極限定理 $Z_n = (\hat{p} - p) / \sqrt{p(1-p)/n} \sim N(0,1)$ を適用して求めよ。

1. 問題の内容

スーパーの買い物でマイバッグを使用している人の割合を調べる。母比率を $p$、標本比率を $\hat{p}$ とする。$\hat{p}$ と $p$ の差（許容誤差）が 0.01 以下になる確率を 0.90 以上にするには、少なくとも標本の大きさ $n$ はいくら必要か。中心極限定理 $Z_n = (\hat{p} - p) / \sqrt{p(1-p)/n} \sim N(0,1)$ を適用して求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$|\hat{p} - p| \le 0.01$ となる確率が 0.90 以上であるという条件を数式で表すと、

$$P(|\hat{p} - p| \le 0.01) \ge 0.90$$

となる。これを標準化すると、

$$P\left(\frac{|\hat{p} - p|}{\sqrt{p(1-p)/n}} \le \frac{0.01}{\sqrt{p(1-p)/n}}\right) \ge 0.90$$

$$P\left(|Z| \le \frac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}}\right) \ge 0.90$$

となる。ここで、$Z \sim N(0,1)$ である。

$P(|Z| \le z) = 0.90$ となる $z$ を求める。これは $P(-z \le Z \le z) = 0.90$ と同値であり、$P(Z \le z) - P(Z \le -z) = 0.90$ となる。また、$P(Z \le -z) = 1 - P(Z \le z)$ であるから、$P(Z \le z) - (1 - P(Z \le z)) = 0.90$ となり、$2P(Z \le z) - 1 = 0.90$ より、$P(Z \le z) = 0.95$ となる。このとき、$z \approx 1.645$ である。（問題文には$P(Z>1.64)=0.05$とあるので$P(Z<1.64)=0.95$となるので、$z=1.64$を用いる）。

したがって、$\frac{0.01\sqrt{n}}{\sqrt{p(1-p)}} \ge 1.64$ となる必要がある。

$n \ge (1.64)^2 \frac{p(1-p)}{(0.01)^2}$ となる。

$p(1-p)$ の最大値は $p = 0.5$ のときに $0.25$ となる。

$n \ge (1.64)^2 \times \frac{0.25}{(0.01)^2} = (1.64)^2 \times 2500 = 2.6896 \times 2500 = 6724$

3. 最終的な答え

6724