ある地域で2500人の有権者を無作為抽出し、A政党の支持者を調べたところ、625人であった。この地域のA政党の支持率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある地域で2500人の有権者を無作為抽出し、A政党の支持者を調べたところ、625人であった。この地域のA政党の支持率 $p$ に対して、信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

信頼度95%の信頼区間は、標本比率 $\hat{p}$ を用いて、以下の式で求められる。

$\hat{p} \pm z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

ここで、

* $\hat{p}$ は標本比率（A政党の支持者の割合）

* $n$ は標本サイズ（2500人）

* $z$ は信頼係数（信頼度95%の場合、通常1.96）

まず、標本比率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{625}{2500} = 0.25$

次に、信頼区間を計算するための標準誤差を計算する。

$\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.25(1-0.25)}{2500}} = \sqrt{\frac{0.25 \times 0.75}{2500}} = \sqrt{\frac{0.1875}{2500}} = \sqrt{0.000075} \approx 0.00866$

最後に、信頼区間の上限と下限を計算する。

信頼区間下限: $\hat{p} - z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.25 - 1.96 \times 0.00866 = 0.25 - 0.01697 \approx 0.233$

信頼区間上限: $\hat{p} + z \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = 0.25 + 1.96 \times 0.00866 = 0.25 + 0.01697 \approx 0.267$

3. 最終的な答え

信頼度95%の信頼区間は、約 $[0.233, 0.267]$ である。