母集団の平均が $\mu$、分散が $\sigma^2$ であるとき、無作為に抽出された $n$ 個の標本 $X_1, \dots, X_n$ の標本平均 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ について、以下の問いに答える。 (1) $E[\overline{X}]$ を求めよ。 (2) $V[\overline{X}]$ を求めよ。 (3) $\overline{X}$ はどのような分布に従うか説明せよ。 (4) もし母集団の分布が平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布であるならば、$\overline{X}$ の分布はどうなるか答えよ。

1. 問題の内容

母集団の平均が $\mu$、分散が $\sigma^2$ であるとき、無作為に抽出された $n$ 個の標本 $X_1, \dots, X_n$ の標本平均 $\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$ について、以下の問いに答える。

(1) $E[\overline{X}]$ を求めよ。

(2) $V[\overline{X}]$ を求めよ。

(3) $\overline{X}$ はどのような分布に従うか説明せよ。

(4) もし母集団の分布が平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布であるならば、$\overline{X}$ の分布はどうなるか答えよ。

2. 解き方の手順

(1) 期待値の性質を用いて $E[\overline{X}]$ を計算する。

期待値の線形性 $E[aX+bY]=aE[X]+bE[Y]$ を用いる。

$E[X_i] = \mu$ であることを利用する。

(2) 分散の性質を用いて $V[\overline{X}]$ を計算する。

$V[aX] = a^2V[X]$ と、独立な確率変数の和の分散は分散の和になるという性質を用いる。

$V[X_i] = \sigma^2$ であることを利用する。

(3) 中心極限定理について説明する。

(4) 正規母集団からの標本平均の分布について説明する。

3. 最終的な答え

(1) $E[\overline{X}]$:

$E[\overline{X}] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right]$

$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E[X_i]$

$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mu$

$= \frac{1}{n} (n\mu)$

$= \mu$

(2) $V[\overline{X}]$:

$V[\overline{X}] = V\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right]$

$= \frac{1}{n^2} V\left[\sum_{i=1}^{n} X_i\right]$

$= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} V[X_i]$

$= \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sigma^2$

$= \frac{1}{n^2} (n\sigma^2)$

$= \frac{\sigma^2}{n}$

(3) $\overline{X}$ の分布:

$n$ が大きいとき、中心極限定理により、$\overline{X}$ は近似的に正規分布に従う。具体的には、$\overline{X}$ は平均 $\mu$、分散 $\frac{\sigma^2}{n}$ の正規分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ に近似的に従う。

(4) 母集団が正規分布の場合の $\overline{X}$ の分布:

母集団が平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$ の正規分布 $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、$\overline{X}$ は正確に正規分布に従う。すなわち、$\overline{X}$ は平均 $\mu$、分散 $\frac{\sigma^2}{n}$ の正規分布 $N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$ に従う。