確率変数 $X$ は、確率 $p$ で 1 をとり、確率 $1-p$ で 0 をとるとする。ただし、$0 \le p \le 1$ とする。 (1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を計算する。 (2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X = x)$ を示す。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ は、確率 $p$ で 1 をとり、確率 $1-p$ で 0 をとるとする。ただし、$0 \le p \le 1$ とする。

(1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を計算する。

(2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X = x)$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E[X]$ の計算:

$X$ は確率 $p$ で 1、確率 $1-p$ で 0 を取るので、期待値は以下のように計算できます。

$E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

分散 $V[X]$ の計算:

分散の公式 $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$ を使います。

まず、$E[X^2]$ を計算します。$X^2$ は $X$ と同様に、確率 $p$ で $1^2 = 1$、確率 $1-p$ で $0^2 = 0$ を取るので、

$E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p$

したがって、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)$

(2) 確率関数 $p(x) = P(X=x)$ の表示:

$X$ がとりうる値は 0 と 1 です。

$P(X=0) = 1-p$

$P(X=1) = p$

したがって、$X$ の確率関数は以下のように表すことができます。

$p(x) = \begin{cases}

1-p & (x=0) \\

p & (x=1) \\

0 & (\text{otherwise})

\end{cases}$

または、$p(x) = (1-p)^{(1-x)} p^{x}$ for $x \in \{0, 1\}$

3. 最終的な答え

(1)

$E[X] = p$

$V[X] = p(1-p)$

(2)

$p(x) = \begin{cases}

1-p & (x=0) \\

p & (x=1) \\

0 & (\text{otherwise})

\end{cases}$

または

$p(x) = (1-p)^{(1-x)} p^{x}$ for $x \in \{0, 1\}$