確率変数 $X$ が確率 $p$ で $1$、確率 $1-p$ で $0$ をとるとき、以下の問いに答えます。 (1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。 (2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X = x)$ を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が確率 $p$ で $1$、確率 $1-p$ で $0$ をとるとき、以下の問いに答えます。

(1) $X$ の期待値 $E[X]$ と分散 $V[X]$ を求めます。

(2) $X$ の確率関数 $p(x) = P(X = x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 期待値 $E[X]$ の計算：

期待値は、各値とその値をとる確率の積の総和で計算できます。

$E[X] = 1 \cdot P(X=1) + 0 \cdot P(X=0)$

$E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p)$

$E[X] = p$

分散 $V[X]$ の計算：

分散は、$E[X^2] - (E[X])^2$ で計算できます。

まず、$E[X^2]$ を求めます。

$E[X^2] = 1^2 \cdot P(X=1) + 0^2 \cdot P(X=0)$

$E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p)$

$E[X^2] = p$

したがって、分散は

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$V[X] = p - p^2$

$V[X] = p(1-p)$

(2) 確率関数 $p(x)$ の導出：

確率関数 $p(x)$ は、$X = x$ となる確率を表します。

$X$ は $0$ または $1$ の値しかとらないため、

$p(x) = P(X=x)$ は次のように表されます。

$p(x) = \begin{cases}

1-p & (x = 0) \\

p & (x = 1) \\

0 & (x \neq 0, 1)

\end{cases}$

3. 最終的な答え

(1)

$E[X] = p$

$V[X] = p(1-p)$

(2)

$p(x) = \begin{cases}

1-p & (x = 0) \\

p & (x = 1) \\

0 & (x \neq 0, 1)

\end{cases}$