ある県の18歳男子100人を無作為抽出して身長を測定したところ、平均身長は169.2cm、標準偏差は9.0cmであった。この県の18歳男子の平均身長$m$ cmに対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある県の18歳男子100人を無作為抽出して身長を測定したところ、平均身長は169.2cm、標準偏差は9.0cmであった。この県の18歳男子の平均身長$m$ cmに対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

母標準偏差$\sigma$が既知の場合の母平均$m$の信頼区間は、標本平均$\bar{x}$、標本サイズ$n$を用いて、次のように表される。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq m \leq \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、$z_{\alpha/2}$は標準正規分布の上側$\alpha/2$パーセント点である。信頼度95%の場合、$\alpha = 0.05$であるから、$\alpha/2 = 0.025$となり、$z_{0.025} = 1.96$を用いる。

この問題では、$\bar{x} = 169.2$cm、$\sigma = 9.0$cm、$n = 100$であるから、信頼区間は、

$169.2 - 1.96 \cdot \frac{9.0}{\sqrt{100}} \leq m \leq 169.2 + 1.96 \cdot \frac{9.0}{\sqrt{100}}$

$169.2 - 1.96 \cdot \frac{9}{10} \leq m \leq 169.2 + 1.96 \cdot \frac{9}{10}$

$169.2 - 1.764 \leq m \leq 169.2 + 1.764$

$167.436 \leq m \leq 170.964$

3. 最終的な答え

求める信頼区間は、$167.436 \leq m \leq 170.964$。

つまり、$[167.4, 171.0]$ (小数点以下第一位まで)