確率変数$X$は、確率$p$で1、確率$(1-p)$で0となる。ただし、$0 \le p \le 1$である。 (1) $X$の期待値$E[X]$と分散$V[X]$を計算する。 (2) $X$の確率関数$p(x) = P(X=x)$を求めます。

1. 問題の内容

確率変数$X$は、確率$p$で1、確率$(1-p)$で0となる。ただし、$0 \le p \le 1$である。

(1) $X$の期待値$E[X]$と分散$V[X]$を計算する。

(2) $X$の確率関数$p(x) = P(X=x)$を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 期待値$E[X]$と分散$V[X]$の計算

期待値$E[X]$は、確率変数の取りうる値とそれぞれの確率の積の総和で計算されます。

$X$は1を確率$p$で、0を確率$(1-p)$でとるので、

$E[X] = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$

分散$V[X]$は、$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$で計算できます。

まず、$E[X^2]$を計算します。

$X^2$は、$X$が1のとき$1^2=1$を確率$p$で、$X$が0のとき$0^2=0$を確率$(1-p)$でとるので、

$E[X^2] = 1^2 \cdot p + 0^2 \cdot (1-p) = p$

したがって、

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = p - p^2 = p(1-p)$

(2) 確率関数$p(x) = P(X=x)$の導出

$X$は0または1の値しか取らないので、確率関数は以下のようになります。

$P(X=x) = \begin{cases} 1-p & x=0 \\ p & x=1 \\ 0 & x \ne 0,1 \end{cases}$

これは、以下のように表現することもできます。

$p(x) = P(X=x) = (1-p)^{1-x}p^{x}$ ($x = 0, 1$)

3. 最終的な答え

(1) 期待値と分散

$E[X] = p$

$V[X] = p(1-p)$

(2) 確率関数

$p(x) = P(X=x) = (1-p)^{1-x}p^{x}$ ($x = 0, 1$)