確率変数 $X$ が正規分布 $N(6,4)$ に従うとき、以下の確率を求めよ。 (1) $P(5 \le X \le 7)$ (2) $P(3 \le X \le 8)$ (3) $P(X \le c) = 0.9$ となるような $c$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ が正規分布 $N(6,4)$ に従うとき、以下の確率を求めよ。

(1) $P(5 \le X \le 7)$

(2) $P(3 \le X \le 8)$

(3) $P(X \le c) = 0.9$ となるような $c$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正規分布 $N(6,4)$ を標準正規分布 $N(0,1)$ に変換するために、標準化を行う。標準化変数を $Z$ とすると、$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ である。ここで、$\mu = 6$ は平均、$\sigma = \sqrt{4} = 2$ は標準偏差である。

(1) $P(5 \le X \le 7)$ を求める。

$X = 5$ のとき、$Z = \frac{5 - 6}{2} = -0.5$

$X = 7$ のとき、$Z = \frac{7 - 6}{2} = 0.5$

よって、$P(5 \le X \le 7) = P(-0.5 \le Z \le 0.5) = P(Z \le 0.5) - P(Z \le -0.5)$

標準正規分布表より、$P(Z \le 0.5) = 0.6915$ 、$P(Z \le -0.5) = 1 - P(Z \le 0.5) = 1-0.6915 = 0.3085$

したがって、$P(5 \le X \le 7) = 0.6915 - 0.3085 = 0.3830$

(2) $P(3 \le X \le 8)$ を求める。

$X = 3$ のとき、$Z = \frac{3 - 6}{2} = -1.5$

$X = 8$ のとき、$Z = \frac{8 - 6}{2} = 1$

よって、$P(3 \le X \le 8) = P(-1.5 \le Z \le 1) = P(Z \le 1) - P(Z \le -1.5)$

標準正規分布表より、$P(Z \le 1) = 0.8413$ 、$P(Z \le -1.5) = 1 - P(Z \le 1.5) = 1-0.9332 = 0.0668$

したがって、$P(3 \le X \le 8) = 0.8413 - 0.0668 = 0.7745$

(3) $P(X \le c) = 0.9$ となるような $c$ の値を求める。

$P(X \le c) = P(Z \le \frac{c - 6}{2}) = 0.9$

標準正規分布表より、$P(Z \le 1.28) \approx 0.9$ なので、$\frac{c - 6}{2} = 1.28$

$c - 6 = 2 \times 1.28 = 2.56$

$c = 6 + 2.56 = 8.56$

3. 最終的な答え

(1) $P(5 \le X \le 7) = 0.3830$

(2) $P(3 \le X \le 8) = 0.7745$

(3) $c = 8.56$