ある試験を受けた高校生の中から100人を無作為抽出したところ、平均点は58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、この試験の平均点$x$に対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

1. 問題の内容

ある試験を受けた高校生の中から100人を無作為抽出したところ、平均点は58.3点であった。母標準偏差を13.0点として、この試験の平均点$x$に対して、信頼度95%の信頼区間を求めよ。

2. 解き方の手順

信頼区間を求める問題です。母標準偏差が既知なので、正規分布を利用します。

信頼度95%の信頼区間は、一般的に以下の式で表されます。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

ここで、

* $\bar{x}$ は標本平均 (58.3)

* $\sigma$ は母標準偏差 (13.0)

* $n$ は標本サイズ (100)

* $z_{\alpha/2}$ は信頼度に対応するz値 (95%の場合、1.96)

* $\mu$ は母平均

与えられた値を代入して計算します。

$58.3 - 1.96 \times \frac{13.0}{\sqrt{100}} \le \mu \le 58.3 + 1.96 \times \frac{13.0}{\sqrt{100}}$

$58.3 - 1.96 \times 1.3 \le \mu \le 58.3 + 1.96 \times 1.3$

$58.3 - 2.548 \le \mu \le 58.3 + 2.548$

$55.752 \le \mu \le 60.848$

3. 最終的な答え

信頼度95%の信頼区間は $55.752 \le \mu \le 60.848$　である。

(55.752, 60.848)