大きさ100の標本について、平均値が56.3、標準偏差が10.2であるとき、母平均$m$に対する信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

大きさ100の標本について、平均値が56.3、標準偏差が10.2であるとき、母平均$m$に対する信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間は、標本平均$\bar{x}$、標本標準偏差$s$、標本サイズ$n$、信頼係数$z_{\alpha/2}$を用いて、以下の式で表される。

$\bar{x} - z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}} \le m \le \bar{x} + z_{\alpha/2} \frac{s}{\sqrt{n}}$

ここで、信頼度95%のとき、$z_{\alpha/2} = z_{0.025} = 1.96$である。

問題文より、$\bar{x} = 56.3$、$s = 10.2$、$n = 100$である。

これらの値を上記の式に代入すると、

$56.3 - 1.96 \frac{10.2}{\sqrt{100}} \le m \le 56.3 + 1.96 \frac{10.2}{\sqrt{100}}$

$56.3 - 1.96 \times \frac{10.2}{10} \le m \le 56.3 + 1.96 \times \frac{10.2}{10}$

$56.3 - 1.96 \times 1.02 \le m \le 56.3 + 1.96 \times 1.02$

$56.3 - 2.00 \le m \le 56.3 + 2.00$

$54.3 \le m \le 58.3$ (約)

より正確な計算をすると、

$56.3 - 1.96 \times 1.02 = 56.3 - 2.00 = 54.299$

$56.3 + 1.96 \times 1.02 = 56.3 + 2.00 = 58.30$

$54.299 \le m \le 58.30$

3. 最終的な答え

母平均$m$に対する信頼度95%の信頼区間は、$54.299 \le m \le 58.30$である。

（あるいは、約 $54.3 \le m \le 58.3$）