ある工場で製造された製品から無作為に800個を抽出し、不良品の数を調べたところ32個であった。この工場の製品全体の不良品の率 $p$ に対する、信頼度95%の信頼区間を求める。

1. 問題の内容

ある工場で製造された製品から無作為に800個を抽出し、不良品の数を調べたところ32個であった。この工場の製品全体の不良品の率 $p$ に対する、信頼度95%の信頼区間を求める。

2. 解き方の手順

信頼区間を求めるには、以下の手順で行う。

(1) 標本不良率 $\hat{p}$ を計算する。

$\hat{p} = \frac{\text{不良品の数}}{\text{標本数}} = \frac{32}{800} = 0.04$

(2) 標準誤差を計算する。

$\text{標準誤差} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.04(1-0.04)}{800}} = \sqrt{\frac{0.04 \times 0.96}{800}} = \sqrt{0.000048} \approx 0.006928$

(3) 信頼度95%に対応するz値を求める。

信頼度95%の場合、z値は1.96である。

(4) 信頼区間を計算する。

信頼区間は、$\hat{p} \pm z \times \text{標準誤差}$ で求められる。

$\text{信頼区間} = 0.04 \pm 1.96 \times 0.006928$

$\text{信頼区間} = 0.04 \pm 0.013579$

下限: $0.04 - 0.013579 = 0.026421 \approx 0.0264$

上限: $0.04 + 0.013579 = 0.053579 \approx 0.0536$

3. 最終的な答え

信頼度95%の信頼区間は、約[0.0264, 0.0536]である。

または、約[2.64%, 5.36%]である。