ある町で、400人の有権者を無作為抽出し、ある政策に対する賛否を調べたところ、216人が政策を支持していた。この町の有権者数は10000人である。信頼度95%で、この政策の支持者の数を推定せよ。

1. 問題の内容

ある町で、400人の有権者を無作為抽出し、ある政策に対する賛否を調べたところ、216人が政策を支持していた。この町の有権者数は10000人である。信頼度95%で、この政策の支持者の数を推定せよ。

2. 解き方の手順

まず、標本における支持率 $p$ を計算します。

$p = \frac{216}{400} = 0.54$

次に、母集団における支持率の信頼区間を計算します。信頼度95%の場合、信頼係数は1.96を使用します。

信頼区間は次の式で計算できます。

$p \pm 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

ここで、$p = 0.54$、$n = 400$ なので、

$0.54 \pm 1.96\sqrt{\frac{0.54(1-0.54)}{400}}$

$0.54 \pm 1.96\sqrt{\frac{0.54 \times 0.46}{400}}$

$0.54 \pm 1.96\sqrt{\frac{0.2484}{400}}$

$0.54 \pm 1.96\sqrt{0.000621}$

$0.54 \pm 1.96 \times 0.02491987$

$0.54 \pm 0.0488429452$

したがって、信頼区間は $(0.54 - 0.0488, 0.54 + 0.0488) = (0.4912, 0.5888)$ となります。

最後に、有権者数10000人に対する支持者数の推定範囲を計算します。

下限: $10000 \times 0.4912 = 4912$

上限: $10000 \times 0.5888 = 5888$

3. 最終的な答え

この政策の支持者は、信頼度95%で4912人から5888人と推定される。