高校3年生の身長の平均値を推定するために、何人かの生徒を抽出する。母集団の標準偏差が8.2cmであるとき、信頼度95%で信頼区間の幅が2cm以下になるように推定するには、何人以上を抽出して調べればよいかを求める。

1. 問題の内容

高校3年生の身長の平均値を推定するために、何人かの生徒を抽出する。母集団の標準偏差が8.2cmであるとき、信頼度95%で信頼区間の幅が2cm以下になるように推定するには、何人以上を抽出して調べればよいかを求める。

2. 解き方の手順

信頼区間の幅は、$2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表される。ここで、$z$ は信頼度に対応するz値、$\sigma$ は母集団の標準偏差、$n$ はサンプルサイズである。

信頼度95%のとき、$z = 1.96$ である。

信頼区間の幅が2cm以下になるように、$n$ を求める。

$2 \times 1.96 \times \frac{8.2}{\sqrt{n}} \leq 2$

$1.96 \times \frac{8.2}{\sqrt{n}} \leq 1$

$\sqrt{n} \geq 1.96 \times 8.2$

$\sqrt{n} \geq 16.072$

$n \geq (16.072)^2$

$n \geq 258.30$

したがって、259人以上を抽出する必要がある。

3. 最終的な答え

259人