数千枚の答案の採点をした。信頼度95%, 誤差2点以内で平均点を推定したい。従来の経験から点数の標準偏差は15点と見なせる時、少なくとも何枚の答案を抜き出して調べればよいか。

1. 問題の内容

数千枚の答案の採点をした。信頼度95%, 誤差2点以内で平均点を推定したい。従来の経験から点数の標準偏差は15点と見なせる時、少なくとも何枚の答案を抜き出して調べればよいか。

2. 解き方の手順

母平均の信頼区間の幅は、標本平均 $\bar{x}$ を用いて $2 \times z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$ で表されます。ここで、$z$ は信頼係数、$\sigma$ は標準偏差、$n$ は標本サイズです。

信頼度95%の場合、信頼係数 $z$ は1.96です。誤差が2点以内ということは、$z \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2$ である必要があります。問題文より標準偏差 $\sigma$ は15点です。よって、以下の式が成り立ちます。

$1.96 \times \frac{15}{\sqrt{n}} = 2$

この式を $n$ について解きます。

$\sqrt{n} = \frac{1.96 \times 15}{2}$

$\sqrt{n} = 1.96 \times 7.5$

$\sqrt{n} = 14.7$

$n = 14.7^2$

$n = 216.09$

標本サイズは整数である必要があるので、切り上げて217とします。

3. 最終的な答え

少なくとも217枚以上の答案を抜き出して調べる必要があります。