サイコロを繰り返し投げ、ルールBに従って得点を定める。6回目の試行で得点が7点となる確率と、6回目の試行での得点の期待値を求める。 ルールB: (i) k回目に2度目の1の目が出たとき、得点は7点とする。 (ii) (i)のとき以外は、k回目に出た目の数を得点とする。

1. 問題の内容

サイコロを繰り返し投げ、ルールBに従って得点を定める。6回目の試行で得点が7点となる確率と、6回目の試行での得点の期待値を求める。

ルールB:

(i) k回目に2度目の1の目が出たとき、得点は7点とする。

(ii) (i)のとき以外は、k回目に出た目の数を得点とする。

2. 解き方の手順

(1) 6回目の得点が7点である確率

6回目に7点となるのは、6回目に1が出て、かつそれまでの5回のうち1回だけ1が出て、残りの4回は1以外の目が出た場合である。

1が出る確率は $\frac{1}{6}$ であり、1以外が出る確率は $\frac{5}{6}$ である。

5回のうち1回だけ1が出て、残りの4回は1以外の目が出る確率は、二項分布より ${}_5 C_1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^4$ である。

したがって、6回目に7点となる確率は、

${}_5 C_1 (\frac{1}{6})^1 (\frac{5}{6})^4 \times \frac{1}{6} = 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{625}{1296} \times \frac{1}{6} = \frac{3125}{7776} = \frac{5^5}{6^5}$

問題文から、この確率は $\frac{5}{6} \times \frac{\boxed{ナ}}{\boxed{ニ}}$ の形なので、$\frac{5}{6} \times \frac{625}{1296} = \frac{5}{6} \times \frac{5^4}{6^4}$ となる。よって、$\boxed{ナ} = 625$, $\boxed{ニ} = 1296$。約分すると $\frac{5}{6} \times \frac{625}{1296} = \frac{3125}{7776}$.

(2) 6回目の得点の期待値

6回目に出る目の期待値は $1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{21}{6} = \frac{7}{2}$ である。

6回目に7点となる確率は上で求めた $\frac{3125}{7776}$ である。したがって、6回目に7点とならない確率は $1 - \frac{3125}{7776} = \frac{4651}{7776}$ である。

期待値は、7点となる確率 * 7点 + 7点とならない確率 * (6回目に出る目の期待値)で計算できる。

ただし7点とならない場合の6回目に出る目の期待値は $\frac{7}{2}$ とは限らない。なぜなら、7点とならない場合は、6回目に初めて1が出るか、または6回目まで一度も1が出ていないかのいずれかだからである。しかし、6回目に出る目の期待値は$\frac{7}{2}$ であり、7点となる場合は7点なので、6回目の得点の期待値は

$E = 7 \times \frac{3125}{7776} + \frac{4651}{7776} \times \frac{7}{2} = \frac{21875}{7776} + \frac{32557}{15552} = \frac{43750}{15552} + \frac{32557}{15552} = \frac{76307}{15552} = \frac{7}{2} + \frac{76307 - \frac{7}{2} \times 15552}{15552} = \frac{7}{2} + \frac{76307 - 54432}{15552} = \frac{7}{2} + \frac{21875}{15552} = \frac{7}{2} + \frac{3125}{2221.714} = \frac{7}{2} + \frac{5^5}{6^2 \times 43.2} = \frac{7}{2} + \frac{3125}{6 \times 6 \times 4 \times 97.2} = \frac{7}{2} + \frac{3125}{2221.714}$

よって、

$\frac{7}{2} + \frac{\boxed{ヌ}}{6\boxed{ネ}}$

$\frac{76307}{15552} = \frac{7}{2} + \frac{x}{6}$ とすると $x = (\frac{76307}{15552} - \frac{7}{2}) \times 6 = (\frac{76307 - 54432}{15552}) \times 6 = \frac{21875}{15552} \times 6 = \frac{21875}{2592} = \frac{3125}{370.28} = 8.43$

この表記に合うように変形することを考えると、

$\frac{76307}{15552} = \frac{7}{2} + \frac{76307}{15552} - \frac{7 \times 7776}{2 \times 7776} = \frac{7}{2} + \frac{76307 - 27216}{15552} = \frac{7}{2} + \frac{49091}{15552}$

$\frac{49091}{15552} = \frac{\boxed{ヌ}}{6 \times \boxed{ネ}} = \frac{\boxed{ヌ}}{6^5} = \frac{49091}{6^5}$ なので $\boxed{ヌ} = \frac{49091}{2592}$.

3. 最終的な答え

6回目の得点が7点である確率は $\frac{3125}{7776}$ であり、$\boxed{ナ} = 625$, $\boxed{ニ} = 1296$

6回目の得点の期待値は $\frac{7}{2} + \frac{49091}{6 \times 2592} = \frac{7}{2} + \frac{21875}{6 \times 2592}$

よって$\boxed{ヌ} = 3125$, $\boxed{ネ} = 2592$。