10万人が受験した試験の結果が正規分布に従い、平均点が45点、標準偏差が16点である。偏差値$Y$を$Y = 10\cdot\frac{X-45}{16}+50$と定義する。このとき、$Y$の平均、標準偏差を求め、標準化した変数$z$を求める。偏差値が45の受験者の試験の点数を求め、$z$の値を求める。この受験者の成績順位を推定し、成績順位が上位4万番になるような$z$の値と試験の点数を求める。

1. 問題の内容

10万人が受験した試験の結果が正規分布に従い、平均点が45点、標準偏差が16点である。偏差値$Y$を$Y = 10\cdot\frac{X-45}{16}+50$と定義する。このとき、$Y$の平均、標準偏差を求め、標準化した変数$z$を求める。偏差値が45の受験者の試験の点数を求め、$z$の値を求める。この受験者の成績順位を推定し、成績順位が上位4万番になるような$z$の値と試験の点数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$Y$の平均を計算する。$E[X] = 45$なので、

$E[Y] = 10\cdot\frac{E[X]-45}{16}+50 = 10\cdot\frac{45-45}{16}+50 = 50$

よって、$Y$の平均は50である。

次に、$Y$の標準偏差を計算する。$SD[X] = 16$なので、

$SD[Y] = 10\cdot\frac{SD[X]}{16} = 10\cdot\frac{16}{16} = 10$

よって、$Y$の標準偏差は10である。

標準化した変数$z$は、

$z = \frac{Y - 50}{10}$

である。

偏差値が45の受験者の試験の点数を$X_0$とすると、

$45 = 10\cdot\frac{X_0 - 45}{16} + 50$

$-5 = 10\cdot\frac{X_0 - 45}{16}$

$-0.5 = \frac{X_0 - 45}{16}$

$-8 = X_0 - 45$

$X_0 = 37$

よって、試験の点数は37点である。

このときの$z$の値は、

$Y = 45$なので、

$z = \frac{45 - 50}{10} = -0.5$

上位何番にいるかを計算する。$z = -0.5$なので、標準正規分布表から、$-0.5$より小さい範囲の確率は0.3085。したがって、上位から$100000 \times (1-0.3085) = 100000 \times 0.6915 = 69150$。なので、約69000番。

上位4万番になるような$z$を求める。

$40000 / 100000 = 0.4$

$1 - 0.4 = 0.6$

標準正規分布表より、$P(z < 0.26) \approx 0.6$であるから、 $z \approx 0.26$となる。

$Y = 10\cdot\frac{X - 45}{16} + 50$なので、$Y = z*10+50$だから、$X = (Y - 50)*16/10 + 45$。

$z = \frac{Y-50}{10}$だから、 $0.26 \approx \frac{Y-50}{10}$つまり、$2.6 + 50 \approx Y$つまり、$Y = 52.6$である。

$52.6 = 10\cdot\frac{X-45}{16}+50$

$2.6 = 10\cdot\frac{X-45}{16}$

$0.26 = \frac{X-45}{16}$

$4.16 = X - 45$

$X = 49.16$

したがって、約49点取ればよい。

3. 最終的な答え

アイ: 50

ウエ: 10

オカ: 50

キク: 10

ケコ: 37

サシ: -0

スセ: .5

ソ: 69000

タ: 0.26

チ: 49