正方形ABCDの頂点Aに点Pがある。サイコロを投げ、2以下の目が出たら反時計回りに、3以上の目が出たら時計回りに隣の頂点に移動する。 (1) サイコロを2回投げた結果、点PがAに戻る確率を求める。 (2) サイコロを3回投げた結果、点PがBにある確率と、点PがBにあるという条件の下で、点Pが初めてBに移動した条件付き確率を求める。

1. 問題の内容

正方形ABCDの頂点Aに点Pがある。サイコロを投げ、2以下の目が出たら反時計回りに、3以上の目が出たら時計回りに隣の頂点に移動する。

(1) サイコロを2回投げた結果、点PがAに戻る確率を求める。

(2) サイコロを3回投げた結果、点PがBにある確率と、点PがBにあるという条件の下で、点Pが初めてBに移動した条件付き確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) サイコロを2回投げた場合、点PがAに戻るには、

* 2回とも2以下の目が出る

* 2回とも3以上の目が出る

のいずれかである。サイコロの目が2以下となる確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$、3以上となる確率は $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$である。

したがって、求める確率は

$(\frac{1}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

(2) サイコロを3回投げた場合、点PがBにあるには、

* 反時計回りに3回

* 反時計回りに2回、時計回りに1回

* 時計回りに2回、反時計回りに1回

のいずれかである。

3回とも反時計回りは($\frac{1}{3}$)$^3$。

反時計回りに2回、時計回りに1回の場合は $_3C_2$($\frac{1}{3}$)$^2$($\frac{2}{3}$)$^1$ = $3 \times \frac{1}{9} \times \frac{2}{3} = \frac{6}{27}$。

3回とも時計回りは($\frac{2}{3}$)$^3$はBにいかない。

時計回りに2回、反時計回りに1回の場合は、PがBにいかない。

したがって、点PがBにいる確率は、反時計回りに3回移動する確率と、反時計回りに2回、時計回りに1回移動する確率の和なので

$\frac{1}{27} + \frac{6}{27} = \frac{7}{27}$

点Pが初めてBに移動する確率は、1回目にBに移動する確率である。

1回目にBに移動する確率は、反時計回りに1回移動する確率なので$\frac{1}{3}$である。

したがって、条件付き確率は

$\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{27}} = \frac{1}{3} \times \frac{27}{7} = \frac{9}{7}$

条件付き確率は、 $\frac{Bになるかつ初めてBになる}{Bになる}$で求められる。

点Pが初めてBになるのは一回目にBに来る場合なので、条件を満たすのはA->B->A->Bとなる場合のみ。これは$\frac{1}{3}*\frac{2}{3}*\frac{2}{3}$ = $\frac{4}{27}$

$\frac{\frac{4}{27}}{\frac{7}{27}}$ = $\frac{4}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{9}$

(2) 点Pが点Bにある確率は $\frac{7}{27}$。点Pが初めて点Bに移動した条件付き確率は $\frac{4}{7}$。