白玉5個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個ずつ4回取り出すとき、同じ色の玉が3回以上続いて出る確率を求めます。ただし、取り出した玉は元に戻しません。

1. 問題の内容

白玉5個、赤玉3個が入っている袋から、玉を1個ずつ4回取り出すとき、同じ色の玉が3回以上続いて出る確率を求めます。ただし、取り出した玉は元に戻しません。

2. 解き方の手順

全事象は、8個の玉から4個を取り出す順列なので、 $8 \times 7 \times 6 \times 5 = 1680$ 通りです。

3回以上同じ色の玉が続くパターンを考えます。

(1) 3回連続で同じ色の場合：

- 白白白赤

- 赤赤赤白

- 白赤白白白

- 赤白赤赤赤

- 白白白白

- 赤赤赤赤

(2) 4回連続で同じ色の場合:

上記(1)の6通りに含まれるため、別途考慮する必要はありません。

それぞれの場合の数を計算します。

* 白白白赤 : $5 \times 4 \times 3 \times 3 = 180$

* 赤赤赤白 : $3 \times 2 \times 1 \times 5 = 30$

* 白赤白白白 : $5 \times 3 \times 4 \times 3 = 180$

* 赤白赤赤赤 : $3 \times 5 \times 2 \times 1 = 30$

* 白白白白 : $5 \times 4 \times 3 \times 2 = 120$

* 赤赤赤赤 : これは起こりえません。なぜなら、赤玉は3個しかないため、4回連続で取り出すことはできません。

したがって、3回以上同じ色が続く場合の数は、 $180 + 30 + 180 + 30 + 120 = 540$ 通りです。

求める確率は、 $\frac{540}{1680} = \frac{54}{168} = \frac{27}{84} = \frac{9}{28}$ です。

3. 最終的な答え

$\frac{9}{28}$