Aを含む男子3人とBを含む女子3人が円形に並ぶ。以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。ただし、回転して重なる並び方は同じとみなす。 (1) AとBが向かい合う場合 (2) AとBが隣り合う場合 (3) 男女が交互に並ぶ場合

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

Aを含む男子3人とBを含む女子3人が円形に並ぶ。以下の条件を満たす並び方は何通りあるか。ただし、回転して重なる並び方は同じとみなす。

(1) AとBが向かい合う場合

(2) AとBが隣り合う場合

(3) 男女が交互に並ぶ場合

2. 解き方の手順

(1) AとBが向かい合う場合

まずAの位置を固定する。円順列なので、誰か一人の位置を固定して考える。Aの向かいにBを置く。残りの男子2人の並び方は2!通り、残りの女子2人の並び方も2!通りである。

したがって、並び方は $2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$ 通り

(2) AとBが隣り合う場合

まずAの位置を固定する。BはAの右隣か左隣のどちらかに並ぶので、2通り。

残りの男子2人の並び方は2!通り、残りの女子2人の並び方も2!通りである。

したがって、並び方は $2 \times 2! \times 2! = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 通り

(3) 男女が交互に並ぶ場合

まずAの位置を固定する。

Aの隣は女子でなければならない。BはAの隣か、Aの2つ隣のどちらかに並ぶ。

Aの隣にBが並ぶ場合、BはAの右隣か左隣のどちらか。2通り。残りの男子2人の並び方は1通り、残りの女子2人の並び方は1通り。2 * 1 * 1 = 2通り。

Aの2つ隣にBが並ぶ場合、BはAから見て時計回りで2つ隣か反時計回りで2つ隣のどちらか。Aの右隣に女子が並ぶと仮定すると、残りの女子の並び方は1通り、残りの男子2人の並び方は2通りなので、2 * 1 * 2 = 4通り

よって、Aがまず最初に座ると、残りの並び方は女子2人, 男子2人の並び方が2! * 2! = 4通り。

Aの隣には女子が座るので、その並び方は2!通り。

残りの男子の並び方は2!通り。

合計 $2! \times 2! = 2 \times 2 = 4$通り

3. 最終的な答え

(1) 4通り

(2) 8通り

(3) 4通り