5つの枠にA, B, Cの3種類のスタンプを左から順に押すとき、以下の問いに答える問題です。 (1) スタンプの押し方は何通りあるか。 (2) Aのスタンプを少なくとも1回使うような押し方は何通りあるか。 (3) ちょうど2種類のスタンプを使うような押し方は何通りあるか。

1. 問題の内容

5つの枠にA, B, Cの3種類のスタンプを左から順に押すとき、以下の問いに答える問題です。

(1) スタンプの押し方は何通りあるか。

(2) Aのスタンプを少なくとも1回使うような押し方は何通りあるか。

(3) ちょうど2種類のスタンプを使うような押し方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 各枠にA, B, Cのいずれかのスタンプを押すことができるので、各枠に対して3通りの選択肢があります。枠は5つあるので、全部で $3^5$ 通りの押し方があります。

(2) Aのスタンプを少なくとも1回使う場合の数を求めるには、すべての押し方からAのスタンプを全く使わない場合の数を引けばよいです。すべての押し方は(1)で求めた $3^5$ 通りです。Aのスタンプを全く使わない場合、各枠にBまたはCのスタンプを押すことになり、各枠に対して2通りの選択肢があります。したがって、Aのスタンプを全く使わない押し方は $2^5$ 通りです。よって、Aのスタンプを少なくとも1回使う押し方は $3^5 - 2^5$ 通りです。

(3) ちょうど2種類のスタンプを使う場合を考えます。

まず、どの2種類のスタンプを使うかを選びます。これは、AとB, AとC, BとCの3通りです。

選んだ2種類のスタンプで5つの枠を埋めることを考えます。2種類のスタンプを使う押し方は $2^5$ 通りですが、これには片方のスタンプだけを使う場合が含まれています。したがって、両方のスタンプを少なくとも1回ずつ使う押し方は、$2^5 - 2$ 通りです。

使うスタンプの組み合わせは3通りなので、合計で $3(2^5 - 2)$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $3^5 = 243$ 通り

(2) $3^5 - 2^5 = 243 - 32 = 211$ 通り

(3) $3(2^5 - 2) = 3(32 - 2) = 3(30) = 90$ 通り