男子3人、女子4人が一列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方は何通りあるか。 (1) 両端がいずれも女子である。 (2) 男子3人が連なって並ぶ。 (3) 女子4人が連なって並ばない。

1. 問題の内容

男子3人、女子4人が一列に並ぶとき、次の条件を満たす並び方は何通りあるか。

(1) 両端がいずれも女子である。

(2) 男子3人が連なって並ぶ。

(3) 女子4人が連なって並ばない。

2. 解き方の手順

(1) 両端がいずれも女子である場合

まず、両端に女子を並べる方法を考える。4人の女子から2人を選んで並べるので、その場合の数は $4P2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。

次に、残りの5人（男子3人と女子2人）を並べる。これは5人の順列なので、 $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

したがって、両端が女子である並び方は $12 \times 120 = 1440$ 通り。

(2) 男子3人が連なって並ぶ場合

男子3人をひとまとめにして考える。すると、男子3人のグループと女子4人の合計5つのものを並べることになる。この並べ方は $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ 通り。

さらに、男子3人のグループの中で、男子の並び順を考える必要がある。これは $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ 通り。

したがって、男子3人が連なって並ぶ並び方は $120 \times 6 = 720$ 通り。

(3) 女子4人が連なって並ばない場合

まず、全体の並び方の総数を求める。これは7人の順列なので、 $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ 通り。

次に、女子4人が連なって並ぶ場合を考える。女子4人をひとまとめにして考える。すると、女子4人のグループと男子3人の合計4つのものを並べることになる。この並べ方は $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

さらに、女子4人のグループの中で、女子の並び順を考える必要がある。これは $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ 通り。

したがって、女子4人が連なって並ぶ並び方は $24 \times 24 = 576$ 通り。

求めるのは女子4人が連なって並ばない並び方なので、全体の並び方から女子4人が連なって並ぶ並び方を引けばよい。

$5040 - 576 = 4464$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 1440通り

(2) 720通り

(3) 4464通り