A, Bの2人がじゃんけんをする。どちらかが先に3回勝った時点でゲームを終了する。引き分けはないものとする。このとき、勝負の分かれ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, Bの2人がじゃんけんをする。どちらかが先に3回勝った時点でゲームを終了する。引き分けはないものとする。このとき、勝負の分かれ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

Aが勝つ場合とBが勝つ場合で場合分けして考える。

引き分けがないので、3回勝つまでの回数は3回, 4回, 5回のいずれかである。

(1) 3回で勝負が決まる場合

Aが3連勝するか、Bが3連勝する場合の2通り。

(2) 4回で勝負が決まる場合

Aが勝つ場合: 3回目にAが2勝し、4回目にAが勝つ。つまり、3回目までにAが2勝1敗している必要がある。この場合の数は${}_3C_2 = 3$ 通り。

Bが勝つ場合: 3回目までにBが2勝1敗し、4回目にBが勝つ。同様に${}_3C_2 = 3$ 通り。

合計で $3 + 3 = 6$通り。

(3) 5回で勝負が決まる場合

Aが勝つ場合: 4回目までにAが2勝2敗し、5回目にAが勝つ。つまり、4回目までにAが2勝2敗している必要がある。この場合の数は${}_4C_2 = 6$ 通り。

Bが勝つ場合: 4回目までにBが2勝2敗し、5回目にBが勝つ。同様に${}_4C_2 = 6$ 通り。

合計で $6 + 6 = 12$通り。

したがって、勝負の分かれ方は、(1), (2), (3)の場合を合計して $2 + 6 + 12 = 20$ 通り。

3. 最終的な答え

20通り