カレンダーの中で、縦横に隣り合う4つの数を $a, b, c, d$ としたとき、 $bc - ad$ の値について考察する問題。 (1) 縦2つ、横2つを四角形で囲んだとき、$bc - ad$ の値が常に7になることを証明する。 (2) 縦3つ、横2つを四角形で囲んだ場合、$bc - ad$ の値にどのような性質が成り立つか予想する。 (3) (2)で予想した性質が正しいことを証明する。

1. 問題の内容

カレンダーの中で、縦横に隣り合う4つの数を $a, b, c, d$ としたとき、 $bc - ad$ の値について考察する問題。

(1) 縦2つ、横2つを四角形で囲んだとき、$bc - ad$ の値が常に7になることを証明する。

(2) 縦3つ、横2つを四角形で囲んだ場合、$bc - ad$ の値にどのような性質が成り立つか予想する。

(3) (2)で予想した性質が正しいことを証明する。

2. 解き方の手順

(1) $b = a + 1$, $c = a + 7$, $d = a + 8$ と表せることを利用して、$bc - ad$ を計算する。

$bc - ad = (a + 1)(a + 7) - a(a + 8)$

$= a^2 + 8a + 7 - a^2 - 8a$

$= 7$

(2) 縦3つ、横2つを四角形で囲んだとき、4つの数を $a, b, c, d$ とすると、$b = a + 1$, $c = a + 14$, $d = a + 15$ となる。

このとき、$bc - ad$ の値は

$bc - ad = (a + 1)(a + 14) - a(a + 15)$

$= a^2 + 15a + 14 - a^2 - 15a$

$= 14$

よって、$bc - ad$ の値は常に14になる。

(3) (2) で予想した性質が正しいことを証明する。

$b = a + 1$, $c = a + 14$, $d = a + 15$ より、

$bc - ad = (a + 1)(a + 14) - a(a + 15)$

$= a^2 + 15a + 14 - a^2 - 15a$

$= 14$

したがって、$bc - ad$ の値は常に14になることが証明された。

3. 最終的な答え

(1) $bc - ad = 7$

(2) $bc - ad$ の値は常に14になる。

(3) $bc - ad = 14$ (証明済)