$2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ $3\sqrt{12} = 3\sqrt{2^2 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$ $\sqrt{54} = \sqrt{2 \cdot 3^3} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{6}$

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容**

(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$ を計算する。

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ を計算する。

(3) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$ の分母を有理化する。

(4) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

(5) $\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$ の分母を有理化する。

(6) $\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$ の分母を有理化する。

**

2. 解き方の手順**

**(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$ の計算**

1. それぞれの根号の中を素因数分解し、簡略化する。

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$3\sqrt{12} = 3\sqrt{2^2 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{2 \cdot 3^3} = \sqrt{2 \cdot 3^2 \cdot 3} = 3\sqrt{6}$

2. 計算する。

$6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

**(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$ の計算**

1. 二乗を展開する。

$(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2$

2. 計算する。

$3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{2 \cdot 3^2} = 9 + 2 \cdot 3\sqrt{2} = 9 + 6\sqrt{2}$

**(3) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$ の分母の有理化**

1. 分母を簡単にする。

$\sqrt{8} = \sqrt{2^3} = \sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$

2. 分母を有理化する。

$\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

**(4) $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ の分母の有理化**

1. 分母の共役な複素数を掛ける。

$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}$

2. 分子を展開する。

$(2\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = 2\sqrt{3}\sqrt{3} + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + \sqrt{2}\sqrt{3} + \sqrt{2}\sqrt{2} = 6 + 2\sqrt{6} + \sqrt{6} + 2 = 8 + 3\sqrt{6}$

3. 分母を展開する。

$(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1$

4. 計算する。

$\frac{8 + 3\sqrt{6}}{1} = 8 + 3\sqrt{6}$

**(5) $\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}}$ の分母の有理化**

1. 分母の共役な複素数を掛ける。

$\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})}$

2. 分子を展開する。

$\sqrt{2}(1+\sqrt{3}) = \sqrt{2} + \sqrt{6}$

3. 分母を展開する。

$(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3}) = 1^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$

4. 計算する。

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{-2} = -\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{2}$

**(6) $\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}$ の分母の有理化**

1. 分母を展開する。

$\sqrt{6}(1+\sqrt{3}) = \sqrt{6} + \sqrt{18} = \sqrt{6} + 3\sqrt{2}$

2. 分母を有理化する。

$\frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{6}+3\sqrt{2}} = \frac{(3+\sqrt{3})(\sqrt{6}-3\sqrt{2})}{(\sqrt{6}+3\sqrt{2})(\sqrt{6}-3\sqrt{2})}$

3. 分子を展開する。

$(3+\sqrt{3})(\sqrt{6}-3\sqrt{2}) = 3\sqrt{6} - 9\sqrt{2} + \sqrt{18} - 3\sqrt{6} = -9\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = -6\sqrt{2}$

4. 分母を展開する。

$(\sqrt{6}+3\sqrt{2})(\sqrt{6}-3\sqrt{2}) = (\sqrt{6})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 6 - 9 \cdot 2 = 6 - 18 = -12$

5. 計算する。

$\frac{-6\sqrt{2}}{-12} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

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3. 最終的な答え**

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $9+6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(4) $8+3\sqrt{6}$

(5) $-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

(6) $\frac{\sqrt{2}}{2}$