$\frac{11}{\sqrt{3} - 1}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\frac{11}{\sqrt{3} - 1}$ の整数の部分を $a$, 小数の部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{11}{\sqrt{3} - 1}$ の分母を有理化します。

$\frac{11}{\sqrt{3} - 1} = \frac{11(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{11(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{11(\sqrt{3} + 1)}{2}$

次に、$\sqrt{3}$ の近似値を求めます。$\sqrt{3}$ は約 $1.732$ です。

$\frac{11(\sqrt{3} + 1)}{2} = \frac{11(1.732 + 1)}{2} = \frac{11(2.732)}{2} = \frac{30.052}{2} = 15.026$

よって、$\frac{11}{\sqrt{3} - 1}$ の値は約 $15.026$ です。

したがって、整数の部分 $a = 15$ であり、小数部分 $b$ は $\frac{11}{\sqrt{3} - 1} - 15$ です。

$b = \frac{11}{\sqrt{3} - 1} - 15 = \frac{11(\sqrt{3} + 1)}{2} - 15 = \frac{11\sqrt{3} + 11 - 30}{2} = \frac{11\sqrt{3} - 19}{2}$

3. 最終的な答え

$a = 15$

$b = \frac{11\sqrt{3} - 19}{2}$