2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

2次不等式 $ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた不等式の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であることから、まず、$ax^2 + bx + 2 = 0$ の解が $x = -2$ と $x = \frac{1}{3}$ であると考えます。また、$ax^2 + bx + 2 > 0$ の解が $-2 < x < \frac{1}{3}$ であることから、$a < 0$ である必要があります。

解と係数の関係を利用するために、$ax^2 + bx + 2 = 0$ の両辺を $a$ で割ると、$x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{2}{a} = 0$ となります。この方程式の解が $-2$ と $\frac{1}{3}$ であるから、解と係数の関係より、

$$-2 + \frac{1}{3} = -\frac{b}{a}$$

$$(-2) \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{a}$$

これらの式を整理します。

$$-\frac{5}{3} = -\frac{b}{a}$$

$$-\frac{2}{3} = \frac{2}{a}$$

2番目の式より、

$$a = -3$$

1番目の式に $a = -3$ を代入すると、

$$-\frac{5}{3} = -\frac{b}{-3} = \frac{b}{3}$$

$$b = -5$$

したがって、$a = -3$ と $b = -5$ が求まりました。

ここで、不等式に$a,b$の値を代入すると、

$-3x^2 - 5x + 2 > 0$

$3x^2 + 5x - 2 < 0$

$(3x - 1)(x+2) < 0$

$-2 < x < \frac{1}{3}$

これは与えられた不等式の解と一致するので、$a=-3$、$b=-5$で正しいです。

3. 最終的な答え

$a = -3$, $b = -5$