(1) 200以下の自然数のうち、以下の数を求めます。 ① 5の倍数 ② 5の倍数ではない数 ③ 5の倍数または9の倍数 (2) 3桁の自然数のうち、7の倍数の個数を求めます。 (3) 360の正の約数の個数と総和を求めます。

1. 問題の内容

(1) 200以下の自然数のうち、以下の数を求めます。

① 5の倍数

② 5の倍数ではない数

③ 5の倍数または9の倍数

(2) 3桁の自然数のうち、7の倍数の個数を求めます。

(3) 360の正の約数の個数と総和を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

① 5の倍数: 200 ÷ 5 = 40 なので、5の倍数は40個です。

② 5の倍数ではない数: 200 - 40 = 160 なので、5の倍数ではない数は160個です。

③ 5の倍数または9の倍数:

5の倍数は40個、9の倍数は 200 ÷ 9 = 22.2... なので、22個です。

5の倍数かつ9の倍数（45の倍数）は 200 ÷ 45 = 4.4... なので、4個です。

したがって、5の倍数または9の倍数の個数は 40 + 22 - 4 = 58個です。

(2)

3桁の自然数は100から999までの数です。

100 ÷ 7 = 14.2... なので、7 × 15 = 105 が最初の3桁の7の倍数です。

999 ÷ 7 = 142.7... なので、7 × 142 = 994 が最後の3桁の7の倍数です。

7の倍数の個数は 142 - 15 + 1 = 128個です。

(3)

360を素因数分解します。

$360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$

約数の個数は、各素因数の指数のそれぞれに1を足して掛け合わせたものです。

約数の個数は $(3+1) \times (2+1) \times (1+1) = 4 \times 3 \times 2 = 24$個です。

約数の総和は、各素因数について、0乗からその素因数の指数までの和を計算し、それらを掛け合わせたものです。

約数の総和は $(2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3) \times (3^0 + 3^1 + 3^2) \times (5^0 + 5^1) = (1 + 2 + 4 + 8) \times (1 + 3 + 9) \times (1 + 5) = 15 \times 13 \times 6 = 1170$です。

3. 最終的な答え

(1)

① 5の倍数: 40個

② 5の倍数ではない数: 160個

③ 5の倍数または9の倍数: 58個

(2) 3桁の自然数のうち、7の倍数: 128個

(3) 360の正の約数の個数: 24個、総和: 1170