大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。 (1) 目の和が16になる場合 (2) 目の積が8になる場合 (3) 出る目の最小値が5になる場合

1. 問題の内容

大小中3個のサイコロを投げるとき、以下の条件を満たす場合の数をそれぞれ求めます。

(1) 目の和が16になる場合

(2) 目の積が8になる場合

(3) 出る目の最小値が5になる場合

2. 解き方の手順

(1) 目の和が16になる場合:

大小中のサイコロの目をそれぞれ$x, y, z$とすると、$x+y+z=16$を満たす整数の組$(x, y, z)$を求めます。ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$です。

まず、$x'=x-1$, $y'=y-1$, $z'=z-1$とすると、$0 \le x' \le 5$, $0 \le y' \le 5$, $0 \le z' \le 5$で、$x'+y'+z'=16-3=13$となります。

$x'+y'+z'=13$を満たす非負整数の組$(x', y', z')$の総数は、$\binom{13+3-1}{3-1} = \binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2} = 105$です。

ここから、$x' \ge 6$となる場合、つまり、$x'-6+y'+z'=7$となる場合を引きます。これは$\binom{7+3-1}{3-1} = \binom{9}{2} = 36$通り。同様に、$y' \ge 6$となる場合、$z' \ge 6$となる場合もそれぞれ36通り。

さらに、$x' \ge 6$かつ$y' \ge 6$となる場合、つまり、$x'-6+y'-6+z'=1$となる場合を足します。これは$\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$通り。同様に、$x' \ge 6$かつ$z' \ge 6$となる場合、$y' \ge 6$かつ$z' \ge 6$となる場合もそれぞれ3通り。

$x' \ge 6, y' \ge 6, z' \ge 6$となることはありません。

よって、求める場合の数は$105 - 3 \times 36 + 3 \times 3 = 105 - 108 + 9 = 6$通り。

または、地道に書き出すこともできます。

(4,6,6), (5,5,6), (5,6,5), (6,4,6), (6,5,5), (6,6,4)の6通りです。

(2) 目の積が8になる場合:

$xyz=8$を満たす整数の組$(x, y, z)$を求めます。$8 = 2 \times 2 \times 2 = 2 \times 4 \times 1$なので、目の組み合わせは(2, 2, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (2, 1, 4), (2, 4, 1), (4, 1, 2), (4, 2, 1)の7通りです。

(3) 出る目の最小値が5になる場合:

3つのサイコロの目が全て5以上であり、少なくとも一つは5である必要があります。

3つのサイコロの目が全て5か6の場合を考えます。

(5,5,5), (5,5,6), (5,6,5), (6,5,5), (5,6,6), (6,5,6), (6,6,5), (6,6,6)の8通りです。

このうち、全ての目が6である(6,6,6)を除くと、求める場合の数は8-1=7通りです。

しかし、(5,5,5), (5,5,6)のようにサイコロの区別を考慮すると、(5,5,6)は(5,6,5), (6,5,5)を区別して3通りと数えます。同様に、(5,6,6)は3通りと数えます。よって、1 + 3 + 3 = 7通りです。

さらに(6,6,6)は除外されません。よって、7通りではなく、7個ではなく、1 + 3 + 3 + 1 = 8 - 1 = 7通り。

よって、(5,5,5), (5,5,6), (5,6,5), (6,5,5), (5,6,6), (6,5,6), (6,6,5)。 最小値が5なので、 (6,6,6)はあり得ません。なので、8通りから6が3つというパターンを削除し、7通りです。

3. 最終的な答え

(1) 6通り

(2) 7通り

(3) 7通り