(1) ベクトルの等式 $|2\vec{a}+3\vec{b}|^2+|2\vec{a}-3\vec{b}|^2=2(4|\vec{a}|^2+9|\vec{b}|^2)$ を証明する。 (2) $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ であり、$\vec{a}-\vec{b}$ と $6\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトルの等式 $|2\vec{a}+3\vec{b}|^2+|2\vec{a}-3\vec{b}|^2=2(4|\vec{a}|^2+9|\vec{b}|^2)$ を証明する。

(2) $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ であり、$\vec{a}-\vec{b}$ と $6\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるとき、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

左辺を計算し、右辺と同じになることを示す。

$|2\vec{a}+3\vec{b}|^2 = (2\vec{a}+3\vec{b})\cdot(2\vec{a}+3\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 + 12\vec{a}\cdot\vec{b} + 9|\vec{b}|^2$

$|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = (2\vec{a}-3\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b}) = 4|\vec{a}|^2 - 12\vec{a}\cdot\vec{b} + 9|\vec{b}|^2$

したがって、

$|2\vec{a}+3\vec{b}|^2+|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = (4|\vec{a}|^2 + 12\vec{a}\cdot\vec{b} + 9|\vec{b}|^2) + (4|\vec{a}|^2 - 12\vec{a}\cdot\vec{b} + 9|\vec{b}|^2) = 8|\vec{a}|^2 + 18|\vec{b}|^2 = 2(4|\vec{a}|^2 + 9|\vec{b}|^2)$

(2)

$\vec{a}-\vec{b}$ と $6\vec{a}+\vec{b}$ が垂直なので、内積は0となる。

$(\vec{a}-\vec{b})\cdot(6\vec{a}+\vec{b}) = 0$

$6|\vec{a}|^2 - 5\vec{a}\cdot\vec{b} - |\vec{b}|^2 = 0$

$\vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ なので、

$6|\vec{a}|^2 - 5|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta - |\vec{b}|^2 = 0$

$|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$ を代入する。

$6(2)^2 - 5(2)(3)\cos\theta - (3)^2 = 0$

$24 - 30\cos\theta - 9 = 0$

$15 - 30\cos\theta = 0$

$30\cos\theta = 15$

$\cos\theta = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $|2\vec{a}+3\vec{b}|^2+|2\vec{a}-3\vec{b}|^2 = 2(4|\vec{a}|^2+9|\vec{b}|^2)$ が証明された。

(2) $\theta = \frac{\pi}{3}$