$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + (n-1) \cdot 5^{n-1} + n \cdot 5^n$

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1. 問題の内容

次の３つの和 $S$ を求めます。

(1) $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

(2) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

(3) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

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2. 解き方の手順

### (1) $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^{n-1}$

1. $S$ を $5$ 倍します。

$5S = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + (n-1) \cdot 5^{n-1} + n \cdot 5^n$

2. $S - 5S$ を計算します。

$S - 5S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 5^2 + \dots + n \cdot 5^{n-1}) - (1 \cdot 5 + 2 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^3 + \dots + n \cdot 5^n)$

$-4S = 1 + (2-1) \cdot 5 + (3-2) \cdot 5^2 + (4-3) \cdot 5^3 + \dots + (n - (n-1)) \cdot 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

$-4S = 1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{n-1} - n \cdot 5^n$

3. 等比数列の和の公式を使います。

$1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{n-1} = \frac{1(5^n - 1)}{5 - 1} = \frac{5^n - 1}{4}$

4. $-4S$ を計算します。

$-4S = \frac{5^n - 1}{4} - n \cdot 5^n$

$-4S = \frac{5^n - 1 - 4n \cdot 5^n}{4} = \frac{(1 - 4n)5^n - 1}{4}$

5. $S$ を計算します。

$S = \frac{(4n - 1)5^n + 1}{16}$

### (2) $S = 1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}$

1. $S$ を $\frac{1}{3}$ 倍します。

$\frac{1}{3}S = \frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n}$

2. $S - \frac{1}{3}S$ を計算します。

$S - \frac{1}{3}S = (1 + \frac{2}{3} + \frac{3}{3^2} + \frac{4}{3^3} + \dots + \frac{n}{3^{n-1}}) - (\frac{1}{3} + \frac{2}{3^2} + \frac{3}{3^3} + \dots + \frac{n-1}{3^{n-1}} + \frac{n}{3^n})$

$\frac{2}{3}S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} - \frac{n}{3^n}$

3. 等比数列の和の公式を使います。

$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^3} + \dots + \frac{1}{3^{n-1}} = \frac{1(1 - (\frac{1}{3})^n)}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1 - (\frac{1}{3})^n}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n})$

4. $\frac{2}{3}S$ を計算します。

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2}(1 - \frac{1}{3^n}) - \frac{n}{3^n} = \frac{3}{2} - \frac{3}{2 \cdot 3^n} - \frac{n}{3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3}{2} - \frac{3 + 2n}{2 \cdot 3^n}$

$\frac{2}{3}S = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n}{2 \cdot 3^n}$

5. $S$ を計算します。

$S = \frac{3(3^{n+1} - 3 - 2n)}{4 \cdot 3^n} = \frac{3^{n+2} - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

### (3) $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$

1. $S$ を $x$ 倍します。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-5)x^{n-1} + (3n-2)x^n$

2. $S - xS$ を計算します。

$S - xS = (1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}) - (x + 4x^2 + 7x^3 + \dots + (3n-5)x^{n-1} + (3n-2)x^n)$

$(1-x)S = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

3. 等比数列の和の公式を使います。

$3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} = \frac{3x(1 - x^{n-1})}{1 - x}$

4. $(1-x)S$ を計算します。

$(1-x)S = 1 + \frac{3x(1 - x^{n-1})}{1 - x} - (3n-2)x^n$

$(1-x)S = \frac{1-x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1 - x}$

$(1-x)S = \frac{1 + 2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1 - x}$

$(1-x)S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1 - x}$

5. $S$ を計算します。

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1 - x)^2}$

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3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{(4n - 1)5^n + 1}{16}$

(2) $S = \frac{3^{n+2} - 9 - 6n}{4 \cdot 3^n}$

(3) $S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1 - x)^2}$