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$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n$ を計算します。

解析学極限数列e
2025/5/30

1. 問題の内容

lim⁡n→∞(1−1n+1)n\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n+1})^n を計算します。

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。
1−1n+1=n+1−1n+1=nn+11 - \frac{1}{n+1} = \frac{n+1-1}{n+1} = \frac{n}{n+1}
したがって、求める極限は
lim⁡n→∞(nn+1)n\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n
となります。
ここで、ee の定義 lim⁡n→∞(1+1n)n=e\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e を利用します。
nn+1=11+1n\frac{n}{n+1} = \frac{1}{1+\frac{1}{n}} と変形できます。
よって、
(nn+1)n=(11+1n)n=1(1+1n)n(\frac{n}{n+1})^n = (\frac{1}{1+\frac{1}{n}})^n = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}
したがって、求める極限は
lim⁡n→∞(nn+1)n=lim⁡n→∞1(1+1n)n\lim_{n \to \infty} (\frac{n}{n+1})^n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n}
となります。
n→∞n \to \infty のとき、 (1+1n)n→e(1 + \frac{1}{n})^n \to e なので、
lim⁡n→∞1(1+1n)n=1e\lim_{n \to \infty} \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}
となります。

3. 最終的な答え

1e\frac{1}{e}

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