画像に写っている数式、(1) $|x-3| = 2x$, (2) $|x-4| \le 2x + 1$, (3) $|x+1| > 5x$ をそれぞれ解きます。

1. 問題の内容

画像に写っている数式、(1) $|x-3| = 2x$, (2) $|x-4| \le 2x + 1$, (3) $|x+1| > 5x$ をそれぞれ解きます。

2. 解き方の手順

(1) $|x-3| = 2x$

絶対値記号を外すために場合分けをします。

(i) $x-3 \ge 0$ つまり $x \ge 3$ のとき、

$x-3 = 2x$

$-3 = x$

$x = -3$

しかし、$x \ge 3$ という条件を満たさないので、解ではありません。

(ii) $x-3 < 0$ つまり $x < 3$ のとき、

$-(x-3) = 2x$

$-x+3 = 2x$

$3 = 3x$

$x = 1$

$x < 3$ という条件を満たすので、解です。

(2) $|x-4| \le 2x + 1$

絶対値記号を外すために場合分けをします。

(i) $x-4 \ge 0$ つまり $x \ge 4$ のとき、

$x-4 \le 2x+1$

$-5 \le x$

$x \ge -5$

$x \ge 4$ と $x \ge -5$ の共通範囲は $x \ge 4$ なので、この範囲では $x \ge 4$ が解の条件となります。

(ii) $x-4 < 0$ つまり $x < 4$ のとき、

$-(x-4) \le 2x+1$

$-x+4 \le 2x+1$

$3 \le 3x$

$1 \le x$

$x \ge 1$

$x < 4$ と $x \ge 1$ の共通範囲は $1 \le x < 4$ なので、この範囲では $1 \le x < 4$ が解の条件となります。

(i)と(ii)を合わせると、$x \ge 4$ または $1 \le x < 4$。

したがって、$x \ge 1$。

(3) $|x+1| > 5x$

絶対値記号を外すために場合分けをします。

(i) $x+1 \ge 0$ つまり $x \ge -1$ のとき、

$x+1 > 5x$

$1 > 4x$

$x < \frac{1}{4}$

$x \ge -1$ と $x < \frac{1}{4}$ の共通範囲は $-1 \le x < \frac{1}{4}$。

(ii) $x+1 < 0$ つまり $x < -1$ のとき、

$-(x+1) > 5x$

$-x-1 > 5x$

$-1 > 6x$

$x < -\frac{1}{6}$

$x < -1$ と $x < -\frac{1}{6}$ の共通範囲は $x < -1$。

(i)と(ii)を合わせると、$-1 \le x < \frac{1}{4}$ または $x < -1$。

したがって、$x < \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

(1) $x=1$

(2) $x \ge 1$

(3) $x < \frac{1}{4}$