7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の整数は何個あるか。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 5の倍数 (4) 54000より大きい整数

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作るとき、以下の整数は何個あるか。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 5の倍数

(4) 54000より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 整数

5桁の整数を作るので、一番左の位（万の位）は0以外の数字が入る必要があります。

まず、万の位に入る数字の選び方は6通り（1, 2, 3, 4, 5, 6）。

次に、残りの4つの位に入れる数字を選ぶ必要があります。残りの数字は6個（0と、最初に選んだ万の位以外の数字）なので、6個の数字から4個を選んで並べる順列を考えます。これは $P(6,4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通りです。

したがって、5桁の整数は $6 \times 360 = 2160$ 個です。

(2) 奇数

5桁の奇数は、一の位が1, 3, 5のいずれかである必要があります。

i) 一の位が1, 3, 5の場合：

一の位の選び方は3通り。

万の位は0以外の数字なので、万の位の選び方は場合分けが必要。

* 万の位が0でない場合：万の位は0を含まない残りの5個から選ぶため5通り。残りの3桁は5個から選ぶので$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。よって$3 \times 5 \times 60 = 900$通り。

* 万の位が0の場合：一の位を決めたあと、残りの6個の数字から万の位に0を除く5個を選びます。そして、残りの3桁を5個から選ぶので$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。よって$3 \times 5 \times 60 = 900$通り。

上記の場合分けより、$900$個

(3) 5の倍数

5の倍数は、一の位が0または5である必要があります。

i) 一の位が0の場合：

残りの4桁は6個の数字から選ぶので、$P(6,4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

ii) 一の位が5の場合：

万の位は0以外の数字なので、万の位の選び方は5通り（0と5以外の数字）。

残りの3桁は5個の数字から選ぶので、$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$通り。よって$5 \times 60 = 300$通り。

したがって、5の倍数は $360 + 300 = 660$個です。

(4) 54000より大きい整数

54000より大きい整数は、万の位が5または6の場合を考えます。

i) 万の位が5の場合：千の位が4, 6の場合

* 54XXXの場合：5と4を使用済みなので、残りの5個の数字から3個を選んで並べる。$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$

* 56XXXの場合：5と6を使用済みなので、残りの5個の数字から3個を選んで並べる。$P(5,3) = 5 \times 4 \times 3 = 60$

ii) 万の位が6の場合：

残りの4つの位は6個の数字から選んで並べるので、$P(6,4) = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$通り。

したがって、54000より大きい整数は $60+60 + 360 = 480$個です。

3. 最終的な答え

(1) 2160個

(2) 900個

(3) 660個

(4) 480個