500以上1000以下の整数について、次の2つの問いに答える。 (1) 11の倍数でない整数は何個あるか。 (2) 11の倍数であるが3の倍数でない整数は何個あるか。

1. 問題の内容

500以上1000以下の整数について、次の2つの問いに答える。

(1) 11の倍数でない整数は何個あるか。

(2) 11の倍数であるが3の倍数でない整数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 500以上1000以下の整数の個数を求める。次に、500以上1000以下の整数のうち、11の倍数の個数を求める。最後に、500以上1000以下の整数の個数から11の倍数の個数を引けば、11の倍数でない整数の個数が求まる。

(2) 500以上1000以下の整数のうち、11の倍数の個数を求める。次に、500以上1000以下の整数のうち、11の倍数であり、かつ3の倍数である整数の個数を求める。最後に、11の倍数の個数から、11の倍数であり、かつ3の倍数である整数の個数を引けば、11の倍数であるが3の倍数でない整数の個数が求まる。

(1)

500以上1000以下の整数の個数は $1000 - 500 + 1 = 501$ 個。

500以上1000以下の11の倍数の個数を求める。

$500 \div 11 = 45.45...$ より、11の倍数で500以上の最小のものは、$11 \times 46 = 506$。

$1000 \div 11 = 90.90...$ より、11の倍数で1000以下の最大のものは、$11 \times 90 = 990$。

よって、500以上1000以下の11の倍数の個数は $90 - 46 + 1 = 45$ 個。

したがって、11の倍数でない整数の個数は $501 - 45 = 456$ 個。

(2)

500以上1000以下の11の倍数の個数は、(1)で求めたように45個。

500以上1000以下の整数のうち、11の倍数であり、かつ3の倍数である整数の個数を求める。つまり、33の倍数の個数を求める。

$500 \div 33 = 15.15...$ より、33の倍数で500以上の最小のものは、$33 \times 16 = 528$。

$1000 \div 33 = 30.30...$ より、33の倍数で1000以下の最大のものは、$33 \times 30 = 990$。

よって、500以上1000以下の33の倍数の個数は $30 - 16 + 1 = 15$ 個。

したがって、11の倍数であるが3の倍数でない整数の個数は $45 - 15 = 30$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 456個

(2) 30個