7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数は何個あるか。 (1) 整数 (2) 奇数 (3) 5の倍数 (4) 54000より大きい整数

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる5個を使って5桁の整数を作る。以下の条件を満たす整数は何個あるか。

(1) 整数

(2) 奇数

(3) 5の倍数

(4) 54000より大きい整数

2. 解き方の手順

(1) 整数

5桁の整数なので、一番左の位（万の位）は0以外でなければならない。

まず、万の位に0以外の数字を選ぶ方法が6通りある。

次に、残りの4つの位に、残りの6個の数字から4個を選ぶ順列を考える。これは $_6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ 通り。

よって、全体の個数は $6 \times 360 = 2160$ 個。

(2) 奇数

一の位が奇数（1, 3, 5）の場合を考える。

* 一の位が奇数の場合：

一の位の選び方は3通り。

万の位は0と選んだ奇数以外なので5通り。

残りの3桁は残りの5個の数字から選ぶ順列なので $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

よって、 $3 \times 5 \times 60 = 900$ 通り。

* 一の位が奇数ではない場合:

万の位に0が入らないように調整する。

まず、一の位は0, 2, 4, 6のどれかだから4通り。

万の位は0と一の位の数字以外なので、5通り。

残りの3桁は残りの5個の数字から選ぶ順列なので $_5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ 通り。

よって、$4 \times 5 \times 60 = 1200$通り。

上記の計算で万の位に0が来る場合を考慮できていないため、計算をやり直す。

一の位が奇数の場合で考える。

i)一の位が奇数の場合: (1,3,5のどれか)

一の位の選び方は3通り

万の位は0を含まず、一の位に使った奇数を含まないため5通り

残りの百、十、一位は残りの5個から3個を選んで並べるので、5P3=60通り

よって3×5×60=900通り

ii)一の位が偶数の場合（0を含まない）: (2,4,6のどれか)

一の位の選び方は3通り

万の位は0を含まず、一の位に使った偶数を含まないため5通り

残りの百、十、一位は残りの5個から3個を選んで並べるので、5P3=60通り

よって3×5×60=900通り

iii)一の位が0の場合

一の位は0で確定

万の位は0でないので6通り

残りの百、十、一位は残りの5個から3個を選んで並べるので、5P3=60通り

よって1×6×60=360通り

合計900+900+360=2160通り

(3) 5の倍数

一の位が0または5の場合を考える。

i)一の位が0の場合

一の位は0で確定

万の位は0でないので6通り

残りの百、十、一位は残りの5個から3個を選んで並べるので、5P3=60通り

よって1×6×60=360通り

ii)一の位が5の場合

一の位は5で確定

万の位は0を含まず、一の位に使った5を含まないため5通り

残りの百、十、一位は残りの5個から3個を選んで並べるので、5P3=60通り

よって1×5×60=300通り

合計360+300=660通り

(4) 54000より大きい整数

54000以上の数を作る。

万の位が5または6の場合を考える。

i)万の位が6の場合

残りの4桁は自由に並べられるので6P4=360通り

ii)万の位が5の場合

千の位が4,5,6のどれかの場合を考える。

a)千の位が4の場合

百の位、十の位、一位は自由に並べられるので5P3=60通り

b)千の位が5の場合

百の位は6しかない。

十の位、一位は4P2=12通り

c)千の位が6の場合

百の位、十の位、一位は4P3=24通り

合計360+60+12+24=456通り

3. 最終的な答え

(1) 2160個

(2) 1200個

(3) 660個

(4) 456個