点 A の位置ベクトルが $\vec{a}$、点 B の位置ベクトルが $\vec{b}$ であるとき、線分 AB を指定された比に外分する点の位置ベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す問題です。 (1) 2:3 に外分する点 (2) 5:2 に外分する点

1. 問題の内容

点 A の位置ベクトルが $\vec{a}$、点 B の位置ベクトルが $\vec{b}$ であるとき、線分 AB を指定された比に外分する点の位置ベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す問題です。

(1) 2:3 に外分する点

(2) 5:2 に外分する点

2. 解き方の手順

線分 AB を m:n に外分する点の位置ベクトル $\vec{p}$ は、次の公式で求められます。

$$\vec{p} = \frac{-m\vec{a} + n\vec{b}}{n-m}$$

(1) 2:3 に外分する場合：

$m = 2$, $n = 3$ を上記の公式に代入します。

$$\vec{p} = \frac{-2\vec{a} + 3\vec{b}}{3-2}$$

$$\vec{p} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$$

(2) 5:2 に外分する場合：

$m = 5$, $n = 2$ を上記の公式に代入します。

$$\vec{p} = \frac{-5\vec{a} + 2\vec{b}}{2-5}$$

$$\vec{p} = \frac{-5\vec{a} + 2\vec{b}}{-3}$$

$$\vec{p} = \frac{5\vec{a} - 2\vec{b}}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) 2:3 に外分する点の位置ベクトル:

$-2\vec{a} + 3\vec{b}$

(2) 5:2 に外分する点の位置ベクトル:

$\frac{5\vec{a} - 2\vec{b}}{3}$