ハンドボールを投げる際の角度と飛距離に関する問題です。まず、水平方向から45°の角度でボールを発射したときの軌跡を表す式が与えられています。この式から、ボールが最も高い位置にあるときの座標と、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。次に、水平方向から30°の角度でボールを発射したときの水平距離を求めます。

1. 問題の内容

ハンドボールを投げる際の角度と飛距離に関する問題です。まず、水平方向から45°の角度でボールを発射したときの軌跡を表す式が与えられています。この式から、ボールが最も高い位置にあるときの座標と、ボールが地面に落下するまでの水平距離を求めます。次に、水平方向から30°の角度でボールを発射したときの水平距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 水平方向から45°の方向にボールを発射した場合:

* ボールの軌跡の式は $y = -\frac{1}{20}x^2 + x$ で与えられています。

* この放物線の頂点の座標を求めるために、式を平方完成します。

$y = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x) = -\frac{1}{20}(x^2 - 20x + 100 - 100) = -\frac{1}{20}((x-10)^2 - 100) = -\frac{1}{20}(x-10)^2 + 5$

* よって、頂点の座標は $(10, 5)$ なので、アイ = 10、ウ = 5 です。ボールが最も高い位置にあるとき、地面からの高さは5で、そのときの水平距離は10です。

* 発射したボールが地面に落下するまでの間に進んだ水平距離は、$y=0$ となる時の $x$ の値を求めればよいです。

$0 = -\frac{1}{20}x^2 + x$

$\frac{1}{20}x^2 = x$

$x^2 = 20x$

$x^2 - 20x = 0$

$x(x-20) = 0$

$x = 0, 20$

$x=0$ は発射地点なので、求める水平距離は $x=20$。したがって、エオ = 20 です。

(2) 水平方向から30°の方向にボールを発射した場合:

問題文より、$y = \frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$ とおけるので、ボールが地面に落下するときは、$y=0$ となる$x$を求めます。

$0 = -\frac{1}{30}x^2 + \frac{1}{\sqrt{3}}x$

$\frac{1}{30}x^2 = \frac{1}{\sqrt{3}}x$

$x^2 = \frac{30}{\sqrt{3}}x$

$x^2 = 10\sqrt{3}x$

$x = 10 \sqrt{3}$ または $x = 0$

よって、カキク = $10\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

アイ = 10

ウ = 5

エオ = 20

カキク = $10\sqrt{3}$